matematikk.net

Jeg har en oppgave som jeg ikke skjønner meg på, selv om jeg har fasiten på den.,Lurer på om noen klarer å løse den?,Og klarer noen å løse den ville det vært fint med en forklaring etterpå.

Så til selve oppgaven.
Vis at 133 er kongruent, dvs. finn hele tall p, q, og r slik at pq(p+q)(p-q)=133r^2
Jeg har skrivet nøyaktig likt det som står i bladet.,Da ser vi om noen finner ut av dette.

J.H

Hvis jeg har forstått rett.

Så er f.eks r=p*q

5*3*(5 + 3)*(5 - 3) [symbol:identisk] 0 (mod 15)
133*15^2 [symbol:identisk] 0 (mod 15)

Jeg har søkt på internett, og det er her snakk om en annen type kongruens:
Les pdf-dokument om denne type kongruente tall (engelsk).

La n være et positivt rasjonalt tall.
n kalles kongruent dersom en rettvinklet trekant med rasjonale sidelenger kan ha areal lik n.

Ved å kikke litt i pdf-dokumentet, så har jeg inntrykk av at det er ei vanskelig oppgave å vise at 133 er kongruent.

Teorem 4.11 gir en mulig beskrivelse av kongruente tall, men det forutsetter at den svake Birch-Swinnerton-Dyer-formodningen er riktig. Birch-Swinnerton-Dyer-formodningen er på sin side et «tusenårsproblem».

Å lete etter en løsning på lykke og fromme, kan også by på problemer:
Pdf-dokumentet nevner at 53 er kongruent.
Hvis trekantens sidelengder er a, b og c, så vil visstnok

[tex]a = \frac{ k^2 - l^2 }{ m }[/tex]

[tex]b = \frac{ 2kl }{ m }[/tex]

[tex]c = \frac{ k^2 + l^2 }{ m } [/tex]

der

[tex] k = 1.873.180.325 [/tex]

[tex] l = 1.158.313.156 [/tex]

[tex] m = 297.855.654.284.978.790[/tex]

være «den første løsningen».

Jeg får komme med fasiten på denne oppgaven nå.,Jeg tror ingen grubler mer på den.

Vi skulle finne hele tall for p, q og r, slik at
pq(p+q)(p-q) = 133r^2.
Svaret er:
p= 506^2, q= 19 x 87^2 og r = 3524621430
som løser oppgaven.

Er det noen som er enig i denne løsningen?

Jeg får komme med fasiten på denne oppgaven nå.,Jeg tror ingen grubler mer på den.

Vi skulle finne hele tall for p, q og r, slik at
pq(p+q)(p-q) = 133r^2.
Svaret er:
p= 506^2, q= 19 x 87^2 og r = 3524621430
som løser oppgaven.

Er det noen som er enig i denne løsningen?

Ved å teste fasit på wolframalpha.com, så ser det ut som at fasit er korrekt.

Nå når fasiten er gitt, ser jeg forøvrig at man med kvalifisert/heldig gjetning og en datamaskin kunne ha løst oppgava:

Prøv med p = 1, 4, 9 …
For hver p, let etter løsning ved å prøve forskjellige q mindre enn p.

Da vil datamaskinen hoste opp en løsningen før den har prøvd 150 millioner ganger,
et overkommelig antall gjetninger.

(1² + 2² + 3² + … + 506² < 506³ = 129.554.216 < 150.000.000 )