matematikk.net

Jeg har en oppgave uten eksakt svar, som kan kreve endel forutsetninger og antagelser. Selv har jeg ikke noe fasitsvar på dette, men er spent på å se hva man kan komme frem til, da dette er en interessant problemstilling.

Vikinglotto
De fleste av oss har kanskje hørt om den enorme potten i Vikinglotto, og dette leder til spørsmålet: Hvor stor må premien bli, før det lønner seg å spille alle mulige kombinasjoner?

Dette er et vanskelig spørsmål, siden man ikke kan være trygg på at man tar førstepremien alene, så en kanskje usannsynlig forutsetning bør i første omgang være at man tar premien alene.

Trekningen foregår slik:
Man trekker først 1 av 48 tall som kalles lykketallet. Man legger så tilbake lykketallet og trekker 6 tall som utgjør vinnerrekka pluss tre tilleggstall.

Premier utbetales slik:
1) 6 rette *
2) 5 rette + 1 tillegg
3) 5 rette
4) 4 rette
5) 3 rette

* Den store premiepotten forutsetter at ett av de 6 tallene er lykketallet.

Kroner og øre
Prisen for ei rekke er kr 4, så med alle mulige kombinasjoner, vil man få [tex]{{48}\choose{6}} = 12\,271\,512[/tex] rekker, som vil koste kr 49 086 048 - for enklere tall, sier vi 50 MNOK.

I kraft av å spille alle rekker, vil man selvfølgelig få ekstremt mange premier, noe som kan blir vanskelig å kvantifisere i kroner og øre, men en rimelig antagelse, vil nok være følgende.

Halvparten av omsetningen distribueres likt mellom 1-5 premie, og omsetningen ligger på omlag 70 000 000 (før DU spiller). Det betyr at man ved å spille alle rekkene får en omsetning på ca kr 120 MNOK, hvorav 60 MNOK går til premier. Det betyr at ca 48 MNOK går til premiene 2-5, hvor du vil ta en andel på cirka [tex]50/120 = 0,417[/tex], mens de siste 12 MNOK går til førstepremie.

Jeg prøver meg selv på bakgrunn av antagelsene over.

Først sannsynligheten for at lykketallet inntreffer:

[tex]P(lykketall) = {{6}\choose{1}} \left(\frac{1}{48} \cdot \frac{46}{47} \cdot \ldots \cdot \frac{41}{42}\right) \approx 0.1117[/tex]

Lar storpremien være [tex]X[/tex] i MNOK, og tenker at

E(X) = P(lykketall) * X + (førstepremie) + (andel av 2-5 premie)

[tex]E(X) = 0.1117\cdot X + (12) + 0.417 \cdot 48 \approx 0.1117X + 32[/tex]*

* De 12 millionene er førstepremien, som du får i tillegg til superpotten.

E(X) > innsats

E(X) > 50

X > 161

Altså må toppremien være større enn 161 MNOK før det lønner seg å tippe alle rekker, og dette forutsetter at man vinner den alene. Altså lønner det seg allerede nå, siden den er over 180 MNOK.

Er dere enig i dette ressonementet?

Hva om man står ovenfor å måtte dele den med 0-3 andre, som kanskje er mer sannsynlig, all den tid det tippes for 70 MNOK som er cirka 17.5 millioner rekker.

Det vil si at man etter fire-fem ganger spilt uten av lykketallet treffer inn og man ikke blir den enslige vinneren, går man med et dundrende underskudd?

Om lykketallet treffer eller ikke er en uavhengig hendelse; det spiller ingen rolle for forestående trekning om lykketallet gikk i forrige trekning. Det som derimot skjer er at superpotten vil øke for hver gang lykketallet ikke treffes, og dermed øke gevinsten når hendelsen inntreffer.

Antall omganger før lykketallet inntreffer
Statistisk sett skal lykketallet inntreffe ca hver 10 trekning, så faren er jo at man har spillt for rundt 490 (+) MNOK før det inntreffer. Dog har man i løpet av disse 10 omgangene tatt mange 1-5 premier, som begrenser dette tapet betraktelig. Det at man for hvert spill øker omsetningen med 49 MNOK gir større premier, og man tar 41,9 % av 2-5 premie + 1 premie hver gang. Videre vil man til slutt ta superpotten, og da er bidraget du og alle andre spillere har gitt til den gjennom alle omgangene økt den nok til å forsvare alle omgangene. Det vil lønne seg å spille hver omgang i det lange løp uansett, men blir altså et spørsmål om tilgang på ressurser.

Det kan selvfølgelig skje at lykketallet ikke går ut på over f.eks. 60 trekninger, men sannsynligheten for noe slikt ligger mange standardavvik utenfor forventningen om ca hver 10ende gang, og kan derfor sies å være bortimot umulig.

Sannsynligheten for at den ikke går ut på 20, 30 og 50, 60 trekninger er f.eks. X = sannsynligheten for at lykketallet ikke går:

[tex]P(X = 20) = [1-P(lykketall)]^{20} = 0,093[/tex] (9,3 %)

[tex]P(X = 30) = [1-P(lykketall)]^{30}[/tex] = 0,028 (2,8 %)

[tex]P(X = 50) = 0,0027[/tex] (0,27 %)

[tex]P(X = 60) = 0,00082[/tex] (0,082 %)

Superpotten må deles
Den andre faren, er som du påpeker, at når lykketallet først går inn, så må man dele superpotten med noen andre. Dette har jeg ikke tatt høyde for i utregningene mine, men skal forsøke å lage en modell som også tar inn dette som en eksogen variabel (noe modellbrukeren bestemmer). Jeg skal prøve å få snekret noe sammen i et regneark.

Spørsmålet mitt her er med andre ord når det blir rasjonelt å spille, men siden vi snakker om store pengesummer her, så er det selvsagt også mulig å gjøre store absolutte tap dersom man er meget uheldig med varianse og deling av premien når den slår inn.

Overtro og fødselsdatoer
Noen av tallene spilles også mer enn andre, f.eks. 3 og 7 (som folk spiller av overtro). Er man riktig uheldig, så blir lykketallet ett av disse to og inntreffer. Da vil man høyst sannsynlig måtte dele med flere. En annen ting er at mange spiller fødselsdatoer, disse ligger i intervallet 1-31, hvor 1-12 er mest brukt pga månedene, og alle har en måned. Dagene ligger innen 1-28 som er mest brukt pga februar, 29 og 30 forekommer også oftere enn 31. Altså blir det bedre om lykketallet ligger utenfor dette intervallet som er fra 32-48.

Litt mer om deling
Siden omsetningen er på 70 MNOK (før vi spiller) og dette representerer 17.5 millioner antall spillte rekker, og antall mulige rekker er 12.27 millioner, så vil det være noen rekker som overlapper. Uten å ta høyde for overtro mhp tall 3 og 7, og fødselsdatoer, så skal [tex]17.5-12.27 = 5.23[/tex] millioner av rekkene være identisk med en annen. Det betyr at i 5.23/12.27 = 42,6 % av de spillte rekkene vil være like.

Dette er imidlertid kun et estimat. Noen rekker er kanskje spillt 100 ganger! F.eks. er den mest spillte rekka vissnok 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Uansett betyr estimatet at det er 42,6 % sannsynlighet for at den rekken som går inn må deles med en annen person.