matematikk.net

Vis med hjelp av derivatans defintion, derivatan til funktionen f(x)= [symbol:rot]x

Er "derivata" svensk for "derivert"?

I så fall, så begynner man slik:

[tex]\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}[/tex]

Det stemmer, derivata er svensk for "derivert".

[tex]\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}[/tex] = [tex]\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{(x+h)}^2 - \sqrt{(x)}^2}{h}[/tex]=[tex]\lim_{h \to 0} \frac{{x+h} - {x}}{h}[/tex]

X ene tar ut hverandre og da står jeg igjen med h over h.[tex] {h\to 0}[/tex] så svaret blir 0?

Nei, svaret er ikke 0. Du kan ikke bare kvadrere der du synes det passer og håpe at likheten holder [tex] \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \neq \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}^2-\sqrt{x}^2}{h}[/tex]

En smart måte å finne en finere brøk kan være å gange med den konjugerte til telleren.

edit: Legg merke til at [tex]\lim_{h\to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h\to 0} 1 = 1 \neq 0 [/tex]

Okei, skal jeg gange med konjugatet over eller under brøkstreken?

Begge deler, altså gang med [tex]\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}[/tex].

[tex]\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0} \frac {\sqrt{x+h}(x-h) - \sqrt{x}(x-h)}{h}[/tex]=

[tex]\frac {x^2+xh-xh-h-x^2+xh}{h}[/tex] = [tex]\frac {x-h+xh}{h}[/tex] [tex]\lim_{h\to 0} = x+x=2x[/tex]

tosha0007 wrote:Begge deler, altså gang med [tex]\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}[/tex].

du mener vel [tex]\frac{\sqrt{x-h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x-h}+\sqrt{x}}[/tex]?.

Nei, men jeg innser at ordet konjugert lett kan feiltolkes (kom ikke på et bedre ord i farten). Ideen bak trikset med å gange med 1 (på en tungvint måte) er for å kunne bruke konjugatsetningen (3. kvadratsetning) til å forenkle uttrykket.

[tex] \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)+ \sqrt{x}\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\sqrt{x+h}-(\sqrt{x})^2}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

[tex]\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)+ \sqrt{x}\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\sqrt{x+h}-(\sqrt{x})^2}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

Jeg forstår ikke hvordan det kan bli 1 over brøkstreken x+h-x burde vel bli h alene og h går jo mot null. Så hvordan blir det 1 over brøkstreken?

h i teller og nevner vil kansellere hverandre:

[tex]\frac{x+h-x}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{\cancel{h}}{\cancel{h}\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}[/tex]