matematikk.net

Tenkte å lage en liten tråd hvor jeg sammler en haug faktoriserings, og forenklingsproblemer her.

Dersom en behhersker alle problemene her, vil jeg si at en vil ha en svært dyp forståelse for grunnleggende algebra.

Problemene her vil også være full av luddige triks, og artige substitusjoner.
Problemene blir vanskeligere mot bunnen, men i begynnelsen håper jeg at disse er svært snille.

Oppgavene skal gjennomgå to steg om mulig

1. Forenkle uttrykkene mest mulig

2. Kan ikke et uttrykk forenkles mer, skal det faktoriseres mest mulig
i rellle faktorer. (Ikke noen komplekse tall)


[tex]1) \qquad \frac{7}{\sqrt{7}}[/tex]

[tex]1.01) \qquad a^2 c^2 \: - \: \frac{1}{4}[/tex]

[tex]1.02) \qquad a \cdot \left( \frac{1}{a/4b}\right)^{-1} \cdot b[/tex]

[tex]1.03) \qquad 4x^2 - 16x[/tex]

[tex]1.03) \qquad \frac{3^{12}-3^{10}}{3^{11}+3^{10}}[/tex]

[tex]1.10) \qquad \frac{a - b}{b - a}[/tex]

[tex]1.11) \qquad \sqrt[3]{-125}[/tex]

[tex]1.12) \qquad \frac{-4x^2 + 2x}{1 - 4x^2}[/tex]

[tex]1.13) \qquad \frac{x^2 - 7x}{7 - x}[/tex]

[tex]1.2) \qquad \left( \sqrt{5} - \sqrt{3} \right)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3}\right)[/tex]

[tex]1.21) \qquad 9r^2 + 12rs + 4s^2[/tex]

[tex]1.22) \qquad \frac{121 - 36}{11 - 6}[/tex]

[tex]1.23) \qquad \sqrt[4]{8 + \sqrt{64}}[/tex]

[tex]1.3) \qquad[/tex][tex]\Large \frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-1}}[/tex]

[tex]1.4) \qquad[/tex][tex]\Large \frac{\frac{2}{x-1}}{\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}}[/tex]

[tex]1.51) \qquad \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}[/tex]

[tex]1.52) \qquad \frac{\log_{10}(1/2)}{\log_{10}(5)-1}[/tex]

[tex]2) \qquad 2x^2 -1 + 2x^2[/tex]

[tex]3) \qquad (2x+3)-(3x-1)-x^2[/tex]

[tex]3) \qquad x(x-1)-2(x-1)[/tex]

[tex]3.1) \qquad 8^0 + \cdot 8^{1/3} + \cdot 8^{2/3} + 8^{3/3} + 8^0[/tex]

[tex]3.2) \qquad \frac{ \sqrt{8} }{ \sqrt{2} + \sqrt{8} }[/tex]

[tex]4) \qquad x^2+3x-2x-6[/tex]

[tex]4.0) \qquad 5! - 4 \cdot 4! - 3 \cdot 3! - 2 \cdot 2! - 1 \cdot 1! - 0![/tex]

[tex]4.1) \qquad x^2 \cdot x \cdot x - y \cdot y \cdot y^2[/tex]

[tex]4.11) \qquad (a-3)^2-(a-4)^2[/tex]

[tex]4.12) \qquad (x-2)^2-(4x-8)^2[/tex]

[tex]4.13) \qquad \frac{2x^4 - 2y^4}{x^2 + y^2}[/tex]

[tex]4.2) \qquad \frac{t^2-6t+9}{t^2-8t+15}[/tex]

[tex]4.2) \qquad (x-1)(x-2)(x+1)(x+2)[/tex] <- Utvid

[tex]4.21) \qquad (x-1)(x+1) + (x^2-1)(x^2+1)[/tex]

[tex]4.2) \qquad \frac{t^2-6t+9}{t^2-8t+15}[/tex]

[tex]4.3) \qquad { {n+1}\choose{n} } \qquad n\in \mathbb{N}[/tex]

[tex]4.31) \qquad \sin(t) + \cos(t)\cot(t)[/tex]

[tex]4.32) \qquad \frac{\sec(x)^2}{1 + \tan(x)^2}[/tex]

[tex]4.33) \qquad \cot(x)^2 - \csc(x)^2[/tex]

[tex]4.34) \qquad \sec(x)^4 - \tan(x)^4[/tex]

[tex]4.35) \qquad \frac{1}{1 - \cos(\lambda)} + \frac{1}{1 + \cos(\lambda)}[/tex]

[tex]4.36) \qquad \frac{1 + \sin \psi }{\cos \psi} + \frac{\cos \psi}{1 + \sin \psi}[/tex]

[tex]4.37) \qquad \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)^2}{\cos(x)}[/tex]

[tex]4.38) \qquad \frac{1 + \sin(\omega)}{\sec(\omega)^2-\tan(\omega)\sec(\omega)}[/tex]

[tex]4.39) \qquad \frac{\sin(4t) - \sin(2t)}{\cos(4t) + \cos(2t)}[/tex]

[tex]4.310) \qquad \frac{\sin(t) - \sin(3t)}{\sin^2(t) - \cos^2(t)}[/tex]

[tex]4.311) \qquad \csc(x)^2 - \cot x - 3[/tex]

[tex]4.4) \qquad 18r^3 - 128r^5s^2[/tex]

[tex]4.5) \qquad x^5 - 4x^3 - 8x^2 + 32[/tex]

[tex]4.51) \qquad 12t^2 - 35st + 18s^2[/tex]

[tex]4.6) \qquad \ln(a^2) + \ln(2ab) + \ln(b^2) + \ln(\frac{1}{2})[/tex]

[tex]4.7) \qquad \frac{x}{3}:\frac{9}{x^2}):\frac{1}{27}[/tex]

[tex]4.71) (x+4)^2 - (x-2)^2 + \frac{x + 1}{(x+1)^2 - (x-1)^2}[/tex]

[tex]4.8)[/tex][tex]\Large \qquad \Large \left( e^{\cos(x)^2} e^{\sin(x)^2} \right)^x[/tex]

[tex]4.9)[/tex] [tex]\Large \qquad \frac{e^{\ln(x^2-1)}}{x+1}[/tex]

[tex]4.10) \qquad \sqrt{ \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) }[/tex]

[tex]5) \qquad \frac{1}{2} \ln \left( \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)[/tex]

[tex]6) \qquad \big(cos(x) + \sin(x)\big)^2+\big( cos(x)-sin(x) \big)^2[/tex]

[tex]7) \qquad \frac{3 - 4\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}[/tex]

[tex]7.1) \qquad \frac{1}{\sqrt{x-2} - \sqrt{x-3}}[/tex]

[tex]7.2) \qquad \log_{2\cdot4} \left( \frac{\log_{2}(4)}{\log_{4}(2)} \right)[/tex]

[tex]8) \qquad \frac{1-4y^2}{6y-3}[/tex]

[tex]8.1) \qquad \left( \frac{\phi^2 - 1}{\phi} \right)^{\phi}\quad[/tex] der [tex]\quad\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex]9) \qquad \frac{\cos x \cdot (\sin x+1)^2 - \cos \cdot (\sin x-1)^2}{(\sin x)^4 - (\cos x)^4}[/tex]

[tex]9.0) \qquad \frac{(n+1)!}{n!}[/tex]

[tex]9.1) \qquad \log_a(b) \cdot \log_b(a)[/tex]

[tex]9.2) \qquad \log_{a^2} (\sqrt{a}) \qquad \qquad a>0[/tex]

[tex]10) \qquad \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}[/tex]

[tex]10.1) x^3 + 2x^2 + 8x^2 + 16x + 17x + 34[/tex] (Lag 3 grupper)

[tex]10.2) \qquad \frac{2t^2-1}{2t + \sqrt{2}}[/tex]

[tex]10.3) \qquad a^3 - b^3[/tex]

[tex]10.4) \qquad a^3 + b^3[/tex]

[tex]10.6) \qquad \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!}[/tex]

[tex]10.7) \qquad 2+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{5}{5 + 0}}}}[/tex]

(10.6) og (10.7) er ganske nærme en kjent konstant. Og det er bevist at begge disse to er begynnelsen på uendelig serier som konvergerer mot denne konstanten. Konstanten er ca lik [tex]163^{32/163}[/tex]
Rundet til 6 desimaler.

[tex]11) \qquad \frac{2^{2x-1} - 2^{x-1}}{2^{2x-1}}[/tex]

[tex]11.1) \qquad x^5 + x^3 + 8x^2 + 8[/tex] (to grupper)

[tex]11.1) \frac{\cos(x)^3 + \sin(x)^3}{1 - \frac{1}{2}\sin(2x)}[/tex]

[tex]12) \qquad \frac{\qquad\frac{5p+10}{p^2-4}\qquad}{\frac{3p-6}{(p-2)^2}}[/tex]

[tex]13) \qquad \sqrt[3]{\frac{x^3-6x^2+12x-8}{x^3+3x^2+3x+1}}[/tex]

[tex]13.1) \qquad x^2+14x + 50 + z^2 - 2z[/tex]

[tex]13.2) \qquad (x-2)^2 + x - 1 + y = (y+1)^2[/tex]

[tex]14) \qquad y^2 - 4 - x^2 + 4x[/tex]

[tex]15) \qquad \sqrt{9x^2-6x+1}[/tex]

[tex]15.1) \qquad 2{t \choose 2} + {t \choose 1} + {t \choose 0}[/tex]

[tex]16) \qquad \ln \left( \sqrt{x-1} \right) \exp \left( \ln(4) + \ln \left( \frac{1}{2} \right)\right)[/tex]

[tex]17) \qquad \sqrt[4]{\frac{6 - 2\sqrt{5}}{6 + 2\sqrt{5}}}[/tex]

[tex]18) \qquad[/tex][tex]\Large \ln \left( \left[ \frac{1 + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}\right]:\left[ \frac{1}{1 + \sqrt[4]{x}}\right] \right)[/tex]

[tex]19) \qquad \Large \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt[2]{\frac{y}{x} \cdot }\left( x^2 - 2xy^3 + y^6 \right) }{\left( \sqrt{x} - \sqrt{y^3} \right) x \left( \sqrt{x} + \sqrt{y^3} \right) }[/tex]

[tex]20) \qquad \Large 2^{\frac{\log\left( \frac{100}{x}\right) - 1 }{- \log(2)}}[/tex]

[tex]20.1) \qquad \frac{\left( a - a^2\right)^{n-2}}{\ (1-a)^{n-1} \, - \, (1-a)^{n}}\ \phantom{hello}[/tex]

[tex]20.2) \qquad \arcsin(cos(x))[/tex]

[tex]20.3) \qquad \frac{\sin(8A)}{\cos(A)\cdot\cos(2A)\cdot\cos(4A)}[/tex]

[tex]21) \qquad x^6-2x^3+1[/tex]

[tex]22) \qquad x^6+3x^4+3x^2+1[/tex]

[tex]23) \qquad x^3+x^2-x-1[/tex]

[tex]24) \qquad (2k+1)^8-1[/tex]

[tex]25) \qquad x^3 + 1[/tex]

[tex]25.1) \qquad[/tex][tex]\Large \frac{ {{n+k}\choose{n}} }{{n+k+1}\choose{n}}[/tex]

[tex]25.2) \qquad[/tex][tex]\sin \left( 2 \arccos x\right)[/tex]

[tex]26) \qquad x^4 + 1[/tex]

[tex]26.2) \qquad 4^x+2^{x+3}+2^{\log_2(3)+\log_2(5)}[/tex]

[tex]26.2) \qquad \frac{(2n+2)!}{(2n)!}[/tex]

[tex]27) \qquad x^4 + x^2 + 1[/tex]

[tex]28) \qquad \sqrt{18(\sqrt[3]10 - 2)}[/tex]

[tex]29) \qquad \frac{n! + (n-1)n!}{(n-2)!}[/tex]

[tex]29.1) \qquad \frac{8 + 6\sqrt{3}}{\left( 4 \sqrt{3} + 9 \right)^2 }[/tex]

[tex]29.2) \qquad \frac{(m-1)!}{(m-n)!(n-1)!} + \frac{(m-1)!}{(m-n-1)!(n)!}[/tex]

Vis at
[tex]29.2) \qquad -\frac{2+2\arcsin(x)}{1-x^2 + \arcsin(x) - x^2 \arcsin(x)} \, = \, \frac{1}{x-1} \, + \, \frac{1}{x-1}[/tex]

[tex]29.4) \qquad \Large \binom{ \binom{n}{n-1} } { \binom{n-1}{n-2} }[/tex]

[tex]30) \qquad \sqrt{12 + 5 \sqrt 6}[/tex]

[tex]31) \qquad \sqrt{\frac{1}3 \sqrt{6} (12 + 5\ \sqrt 6)}[/tex]

[tex]31.1) \qquad x(x+1)(x+2)(x+3) - 1680[/tex]

[tex]32) \qquad x^4 + 6 x^3 - 5 x^2 - 10 x - 3[/tex]

[tex]33) \qquad x^4+6x^3-5x^2-10x-3[/tex]

[tex]33.1) \qquad 100! - 99\cdot 99! - 98 \cdot 98! - \cdots - 3\cdot3! - 2\cdot2! - 1\cdot 1! - 0![/tex]

[tex]33.2) \qquad \frac{\big( (p+1)! \big)^2(2p+1)!}{(2p+2+1)!(p!)^2}[/tex]

[tex]34) \qquad \sqrt{1 + \sin 2x}[/tex]

[tex]35) \qquad x(x+1)(x+2)(x+3) - 120[/tex]

[tex]37) \qquad \sqrt{ \frac{1}{1 + \sin x } }[/tex]

[tex]37.1) \qquad \frac{\sin t + \sin 3t}{\cos 3t + \cos t}[/tex]

[tex]37.2) \qquad \arcsin(x) + \arccos(x)[/tex]

[tex]37.3) \qquad \frac{\cosh(x) + \sinh(x)}{\cosh(x) - \sinh(x)}[/tex]

[tex]37.4) \qquad[/tex][tex]\left( \tan^2(x) + \left[ \frac{\cos(\arcsin(x))}{\sin(\arccos(x))}\right]^2 \right)^{-0.5} \qquad 0<x<\pi/3[/tex]

[tex]38) \qquad \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}[/tex]

[tex]37.1) \qquad[/tex][tex]\Large \frac{{n -1\choose k} - {n -1\choose k-1}}{\frac{n-2k}{k}}[/tex]

[tex]38.1) \qquad x^4-6x^3+11x^2-6x+1[/tex]

[tex]39) \qquad x^5+x+1[/tex]

[tex]40) \qquad \sqrt{\sqrt{x + 2\sqrt{2x-4\,}\,} \, + \, \sqrt{x - 2\sqrt{2x-4\,}\,}\,}[/tex]

LIKER initiativet!

Jeg personlig trenger litt øving i slike oppgaver, så jeg vil nok spørre om hjelp når jeg beveger meg nedover lista.

Jeg vet som fakta at mange sliter med kalkulus FORDI algebraen har mista varmen. Det kan jo skape problemer når man skal manipulere integrander, for eksempel.

Er fristet til å lage videoer av slike oppgaver, av den grunn. Ville du hatt noe i mot at jeg "låner" oppgaver fra lista di? Jeg vil linke tilbake til denne tråden i videobeskrivelsen, slik at vi kanskje får flere øyne innom forumet også.

Bare koselig det =) Noen av oppgavene her kan løses med syke substitusjoner som at vi lar [tex]y = x + \frac{1}{x}[/tex] eller [tex]y = x^2 + 3x[/tex] også bare løses problemet på magisk måte.

Og slike ting er svært vanskelige å se, om en ikke har sett de før. så ja bare lage videoer og stå på du. Jeg svarer gjerne om du står fast, noen av oppgavene er noen rakkere.

Synes ikke forenkling og faktorisering er to sider av samme sak. For eksempel får man

[tex](x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+sqrt{2}x+1)[/tex]

når man faktoriserer

[tex]x^4+1[/tex]

men jeg vil ikke kalle det en forenkling.

Hmm. Beste jeg får på oppgave 2 er [tex]2x^2-1[/tex], men det virker for enkelt.

Hint eller fasit? Gjerne uten utregning. Liker å prøve selv

Ltt trøtt i går. Skal oppdattere innlegget mitt for å forklare hva jeg mener.=)

Disse oppgavene går egentlig i to steg.

1. Forenkle oppgavene mest mulig / forkort og forenkle.
2. Faktoriser oppgavene om mulig.

Så etter du har kommet frem til konklusjonenen om at, "nei, dette går ikke ann å forenkle mer" skal du tenke "Men kan jeg faktorisere?"

Litt stygg oppgave som nummer to. Skulle egentlig ha stått

[tex]2x^2 - 1 + 2x^2[/tex]

fikser på det nå jeg =)

EDIT: Sånn mine favoritter er 32, 35, 38 =)
Alt skal være på stell nå

Hahaha, jeg blir så uhyre GLAD når jeg ser slike oppgaver :D Supert initiativ!

La till litt flere rakkerunger, om noen har noen pene er det bare å skrive her, eller sende en melding så kan jeg legge til flere =)

Her er min første video om slikt. Ser frem til å jobbe med disse, da jeg trenger øvingen selv.

http://www.youtube.com/watch?v=OD4v5UDwAwo

Bytta ut 7 med x i første oppgave, for å kunne nevne bruksområder for slike egenskaper.

Kjempebra, sånt liker vi flotte greier =) stå på!

La til en haug flere problem, tror kanskje det holder nå ^^

To små tips når det kommer til faktorisering av uttrykk

1) Lurer du på om svaret ditt er riktig, er det bare å gange ut.
2) Har du fått feil, så er det bare å regne ut noen tallverdier for hver overgang du gjør, da ser du raskt hvor feilen ligger.

Ekstremt nyttig på tøffere uttrykk.

Tenk deg at du skal faktorisere x^2 + 2x + 1
du legger merke til at f(1) = 5 og f(0)=1. Også begynner du å faktorisere.

x^2 + 2x + 1

(x+1)(x-1)

Også lurer du litt på om dette er riktig. Sett du inn 1 og 2, får du henholdsvis 0 og 3, som ikke er riktig. altså har vi gjort en feil.

Har en mange overganger kan det fort gå surr, og da er dette en rask måte å sjekke hver overgang på

Tar noen oppgaver til frokost
4.2) [tex]\frac{(t-3)^2}{(t-3)(t-5)}=\frac{t-3}{t-5}[/tex]
4.4) [tex]2r^3(3^2-(8rs)^2)=2r^3(3-8rs)(3+8rs)[/tex]
24) Siden 1 og -1 er røtter er ved polynomdivisjon [tex]x^8-1=(x-1)(x+1)(x^6+x^4+x^2+1)[/tex] så [tex](2k+1)^8-1=2k(2k+2)((2k+1)^6+(2k+1)^4+(2k+1)^2+1)[/tex]
25) -1 er rot så [tex]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/tex] ved polynomdivisjon.
26.2) La [tex]y=2^x[/tex]: Får da [tex]y^2+8y+15=(y+3)(y+5)=(2^x+3)(2^x+5)[/tex]
30) Kan ikke forenkles ytterligere.
31) Kan ikke forenkles utover [tex]\sqrt{2+17\sqrt{\frac{2}{3}}}[/tex]
33.1 Vi skriver om til
[tex]100!-(100-1)99!-(99-1)98!-...=(100!-100!)+(99!-99!)+(98!-98!)...=0[/tex]
37.1) Kan skrives som [tex]\frac{\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1)!}(\frac{1}{k}-\frac{1}{n-k})}{\frac{n-2k}{k}}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}={n-1\choose k-1}[/tex]

38.1) Antar [tex]x^4-6x^3+11x^2-6x+1=(x^2+sx+1)(x^2+tx+1)[/tex]. Regner ut og sammenligner koeffisienter og får at k=s=-3, så uttrykket kan skrives [tex](x^2-3x+1)^2[/tex] som er irredusible faktorer over Z. Over R kan vi faktorisere videre: [tex]x^2-3x+1=(x-0.5(-3+\sqrt{5}))(x-0.5(-3-\sqrt{5}))[/tex]


39) [tex]x^5+x+1=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)[/tex] som er irredusible faktorer over R.

40) Setter uttrykket lik y. Kvadrering gir

[tex]\sqrt{x + 2\sqrt{2x-4}} \, + \, \sqrt{x - 2\sqrt{2x-4}}=y^2[/tex]. Kvadrering igjen gir at

[tex]x+2\sqrt{2x-4}+x-2\sqrt{2x-4}+2\sqrt{x^2-4(2x-4)}=y^4[/tex]

[tex]2x+2\sqrt{(x-4)^2}=y^4[/tex]

[tex]4x-8=y^4[/tex]. Tar fjerderota og får at

[tex]y=(4(x-2))^{\frac{1}{4}}[/tex]

Oppfølger:

[tex]k^{10}+k^5+1[/tex]