matematikk.net

[tex](a^m)^{\frac{1}{n}[/tex] (I)

siden [tex]\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}[/tex]

som kan forklares slik

http://www.viewdocsonline.com/document/biwlgx

har vi at


[tex]\sqrt[n]{aa...a}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{a}...\sqrt[n]{a}[/tex]

har m a under rottegnet som i (I)

for å vise at

[tex](a^m)^{\frac{1}{n}=a^{\frac{m}{n}[/tex]

for alle hele tall av n og m

(liker å vise ting lissom)

trenger jeg nå bare å vise at

[tex]a^{\frac{1}{n}}a^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{2}{n}}[/tex]

Etter det må jeg vise at


[tex]a^{\frac{1}{n}}a^{\frac{2}{n}}=a^{\frac{3}{n}}[/tex]

tror jeg (mulig det finnes en bedre måte)

og så videre. Hvis

[tex]a^{\frac{1}{n}}a^{\frac{1}{n}}=y[/tex] (a)

[tex]a^{\frac{2}{n}}=y[/tex] (aa)

gir samme uttrykk for y etterhvert. Bruker at

http://www.viewdocsonline.com/document/u2n9hz

(a):

[tex]a^{\frac{1}{n}}=\frac{y}{a^{\frac{1}{n}}}[/tex]

får

[tex]a=\frac{y^n}{a}[/tex]
[tex]a^2=y^n[/tex]

(aa):

[tex]a^{\frac{2}{n}}=y[/tex]

jeg må vise at

[tex](a^{\frac{2}{n}})^n=a^2[/tex]

Beviste Napier logaritmer empirisk? Kan man bevise det med mer avansert mattematikk det jeg prøver å vise. Noen som vet?

[tex](a^{\frac{1}{n}})^n=a^2[/tex]

Vi sier at vi har

[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n[/tex]



vi får

[tex](a^{\frac{1}{2n}})^n(a^{\frac{1}{2n}})^n[/tex]

hva er 2nte rot opphøyd i nte jo man har kommet halvveis til å få det opprinnelige tallet a siden man har ganget halvparten av nte røttene sammen dette gjelder for alle reelle tall. Vi får:

[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{2n}})^n(a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}})=a=(a^{\frac{1}{n}})^n[/tex]

vi har altså at


[tex](a^{\frac{1}{2n}}a^{\frac{1}{2n}})^n=(a^{\frac{1}{n}})^n[/tex]

Vi sier at p=2n

[tex](a^{\frac{1}{p}}a^{\frac{1}{p}})^n=(a^{\frac{2}{p}})^n[/tex]



Blir dette riktig? Fungerer ikke for oddetall av p det at n blir desimal gjør det mye mindre forståelig. Noe opphøyd i 3.5 er vanskelig å forholde seg til og 3.5 rota er enda vanskeligere. Noen som har et forslag for hvordan man kan komme seg rundt det?

[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, . . . \, \cdot a^{\frac{1}{n}} \, }_{\text{n times}} \, =a[/tex]

tar mte rot på begge sider

[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{n}} \, \cdot \, . . . \, \cdot a^{\frac{1}{n}} \, }_{\text{n times}}^{\frac{1}{m}} \, =a^{\frac{1}{m}}[/tex] (a)

[tex](a^{\frac{1}{np}})^{np}=a[/tex] (I)

så ser vi på

[tex]((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^{np}=(((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^n)^p[/tex]

siden n og p er hele tall og faktorenes orden er likegyldig

[tex]((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^{np}=(((a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}})^p)^n=a[/tex]

so

[tex]xy^{\frac{1}{np}}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{p}}[/tex]

dermed blir (a)

[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{nm}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{nm}} \, \cdot \, . . . \, \cdot a^{\frac{1}{nm}} \, }_{\text{n times}} \, =a^{\frac{1}{m}}[/tex]

så hvis m=3 og n=2 får vi

[tex]{\underbrace{a^{\frac{1}{6}} \, \cdot \, a^{\frac{1}{6}} \, \cdot \, }_{\text{2 times}} \, =a^{\frac{1}{3}}[/tex]

for eks