matematikk.net

Har sett litt på likningen [tex]a\sin(x)+b\cos(x)=c[/tex]og fant en sammenheng som jeg syntes kunne bli en litt morsom oppgave. Antakeligvis ikke så veldig vanskelig.

Når har likningen [tex]a\sin(x)+b\cos(x)=c[/tex] ingen løsninger, en løsning, to løsninger?

Hvor [tex]a,b\not=0[/tex]

Fikk en idé, men går fram fort, så kan hende jeg slurver:

[tex]a \cos x + b \sin x = k \left( \frac{a}{k} \cos x + \frac{b}{k} \sin x \right)[/tex]

Der vi lar [tex]k=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]

Da vil det eksistere en vinkel [tex]\theta[/tex] med

[tex]\cos \theta = \frac{a}{k}[/tex] og [tex]\sin \theta = \frac{b}{k}[/tex]

Altså har vi [tex]\theta = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) [/tex]

Dermed får vi [tex]a \cos x + b \sin x = k \left( \cos x \, \cos \theta + \sin x \, \sin \theta \right) = k \cos (x - \theta) = c[/tex]

Som gir

[tex]cos(x-\theta)=\frac{c}{k}[/tex]

Dersom uttrykket [tex]\left| \frac{c}{k} \right| = \left| \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| > 1[/tex] har ligningen åpenbart ingen løsninger, siden cosinus av en vinkel ikke kan bli mer enn 1 eller mindre enn -1.

Ellers vil den vel ha uendelig mange løsninger?

EDIT: La til kvadratrot.

Det han/hun mener er vel to løsninger innenfor én periode, eller med andre ord, to løsninger som ikke representerer samme vinkel i enhetssirkelen. Det skal ikke så store forandringer til i løsningen din for å ta hensyn til det. (Det ser forresten ut som du har glemt kvadratrot til slutt der.)

Ja, jeg glemte å presisere at jeg mente innenfor en periode.
Elegant løsning forresten.

Dette her er mitt forsøk på en løsning, har funnet en liten svakhet på slutten og mangler litt detaljer. Skal prøve å fikse det etter hvert.

[tex]a \sin{x}+b\cos{x}=c[/tex]

[tex]b^2\cos^2{x}=c^2-2ac\sin{x}+a^2\sin^2{x}[/tex]

[tex](a^2+b^2)\sin^2{x}-2ac\sin{x}+(c^2-b^2)=0[/tex]

etter litt utregning:

[tex]\sin{x}=\frac{ac\pm b\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2+b^2}[/tex]

Pga rottegnet må [tex]a^2+b^2\geq c^2[/tex] for at det skal være løsning. To løsninger når venstre side er større og det vil være en løsning når det er likhet, altså (a,b,c) er en pytagoreisk talltrippel (ikke nødvendigvis heltall).

Hvis man så bruker at [tex]a^2+b^2=c^2[/tex] i
[tex]\sin{x}=\frac{ac\pm b\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2+b^2}[/tex]
og
[tex]\cos{x}=\frac{bc\pm a\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2+b^2}[/tex]
Løsningen med cosinus har jeg kommet frem til ved sammen metode som løsningen for sinus. I begge tilfeller vil pluss/minus leddet bli borte og nevneren bli lik [tex]c^2[/tex]Dette gir:

[tex]\sin{x}=\frac ac[/tex] og [tex]\cos{x}=\frac bc[/tex]

Hvis man så ser på en rettvinklet trekant hvor x er motstående vinkel til a, c er hypotenusen og b den andre kateten, vil begge disse uttrykkene vise til samme vinkel ved definisjonen av sinus og cosinus.

Det jeg ikke har tatt i betraktning er intervallet til sinus og cosinus i løsningen av andregradlikningene.

Dette gikk litt fort så det hadde vært fint med kommentarer slik at jeg kan rette opp eventuelle feil/misforståelser.