Spesielle løsningen til innhomogen differenslikning

[nabla]

Hva er den spesielle løsningen til [tex]x_{n+2} - x_{n} = 4n[/tex] ?

Den generelle løsningen er [tex]x_{n}^{g} = C[/tex].

[Gustav]

[tex]x_{n+2}-x_n=4n[/tex]

Homogen løsning:
La [tex]x_n=k^n[/tex]. Setter inn og får

[tex]k^2k^n-k^n=0[/tex]

[tex]k^2=1[/tex] så [tex]k=\pm 1[/tex]. Homogen løsning blir altså


[tex]x_n=A+B(-1)^n[/tex]

Spesiell løsning på formen [tex]Cn^2+Dn[/tex]. Innsatt fås

[tex]C(n+2)^2+D(n+2)-Cn^2-Dn=4n[/tex]

[tex]C(4n+4)+2D=4n[/tex] så

[tex]4C+2D=0[/tex], så [tex]D=-2C[/tex]. [tex]4Cn=4n[/tex] så [tex]C=1[/tex], [tex]D=-2[/tex].

Generell løsning blir altså

[tex]x_n=A+B(-1)^n+n^2-2n[/tex]