matematikk.net

Her kommer en småartig oppgave,som kanskje får noen her inne til å rive seg i håret. Mens andre mener nbu lager kjedelige oppgaver,

Ingen integralregning i dag, men vi ser heller på et spesielt tilfellet med en artig graf, og dens tilhørende tangenter.

a)

Anta at vi har en funksjon [tex]f(x) = \frac{x-1}{x+1}[/tex]

Vi plasserer et punkt P på x-aksen medverdi [tex](b,0)[/tex] der [tex]b<-1[/tex]

[tex]f(x)[/tex] har to tangenter som går gjennom punktet [tex]P[/tex]
Vi kaller skjæringspunktet mellom tangentene og [tex]f(x)[/tex]

Henholdsvis for [tex]R[/tex] og [tex]S[/tex]

Tangentene spinner rundt, når vi glir punktet [tex]P[/tex] langs x-aksen.

Et areal utspenner seg mellom punktene [tex]R, S[/tex] og [tex]P[/tex].

Finn det minste arealet av denne trekanten med tilsvarende x-verdi.

Refferanse: [tex]b=-2[/tex] gir A=6\sqrt{6} og [tex]b=-7[/tex] gir [tex]A=\frac{32}{2}[/tex]

b) En annen liknende funksjon er gitt ved
[tex]\frac{x-a}{x+c}[/tex]
Der [tex]a[/tex] og [tex]c[/tex] er naturlige positive tall.

Punktet P har koordinatene (0,b) der [tex]b \in (\infty , -c)[/tex]

Hva er nå det minste arealet av trekant R, S og P? (Uttrykt ved a og c)

Tegning av problemet

http://i.imgur.com/lqszB.png

Den deriverte er [tex]f^{\prime}(x) = \frac{2}{(x+1)^2}. [/tex] Funksjonen til tangenten parallell med f(x) i punktet z er [tex]y = f(z) + (x-z)f^{\prime}(z).[/tex]

Vi løser for R og S ved å sette inn (x,y) = (b,0):

[tex]0 = \frac{z-1}{z+1} + \frac{2(b-z)}{(z+1)^2}[/tex]

[tex]0 = z^2-1+2(b-z)[/tex]

[tex]z^2-2z+2b-1 = 0[/tex]

[tex]z = 1 \pm \sqrt{2-2b}[/tex]

[tex]f(z) = \frac{\pm \sqrt{2-2b}}{2 \pm \sqrt{2-2b}}[/tex]

Så [tex]R = (1+\sqrt{2-2b},\frac{\sqrt{2-2b}}{\sqrt{2-2b}+2} )[/tex] og [tex]S = (1-\sqrt{2-2b},\frac{\sqrt{2-2b}}{\sqrt{2-2b}-2})[/tex].

Arealet til trekanten PRS blir da

[tex]\frac{1}{2}|\det \begin{bmatrix}(R-P) \\ (S-P) \end{bmatrix}|= [/tex]

[tex]\frac{1}{2}|\det \begin{bmatrix}1+\sqrt{2-2b} & \frac{\sqrt{2-2b}}{\sqrt{2-2b}+2} -b \\ 1-\sqrt{2-2b} &\frac{\sqrt{2-2b}}{\sqrt{2-2b}-2}-b \end{bmatrix}|=[/tex]
[tex] \frac{1}{2}|(1+\sqrt{2-2b})(\frac{\sqrt{2-2b}}{\sqrt{2-2b}-2}-b) - (1-\sqrt{2-2b})(\frac{\sqrt{2-2b}}{\sqrt{2-2b}+2} -b)| = [/tex]

Jeg hadde ikke så lyst å derivere dette mhp b selv, så jeg deriverte i wolfram alpha, og fikk at løsningen tilfredsstiller

[tex]b^3+b^2-2b+2 = 0[/tex]

som har en omtrentelig løsning b = -2,27

Selv fikk jeg at b=-5 fungerte, sjekket også i geogebra og det stemte.

Slik det ser ut for min del, så er det punktet S som er litt feil, resten ser rett ut. Jeg fikk at arealet ble

[tex]A(b) = 2 \left| \frac{\sqrt{2 - 2b}(b - 1)}{b + 1} \right|[/tex]

Etter en del forkortninger =)

Ja, ser ut til at jeg i slutten har regnet med P = (0,b) istedet for (b,0). Når jeg retter opp får jeg samme svar som deg, dvs b = -5.

Arealet vi er ute etter blir da [tex]6\sqrt{3}[/tex].