Her er et delvis løsningsforslag:
[tex]y^\prime + xy = 1[/tex]
Setter:
[tex]p(x) = x[/tex]
[tex]\mu(x) = e^{\int x dx}[/tex]
[tex]= e^{\frac{x^{2}}{2}}[/tex]
Dette gir:
[tex](ye^{\frac{x^{2}}{2})^\prime[/tex] [tex]= e^{\frac{x^{2}}{2}[/tex]
Rekkeutviklingen av [tex]e^{\frac{x^{2}}{2}[/tex] er gitt ved:
[tex]1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{6}}{48} + ...[/tex]
Integrasjon av dette gir: [tex]x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{40} + \frac{x^{7}}{336} + ... + C[/tex]
Løsningen på diff.likningen blir dermed:
[tex]y = \frac{x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{40} + \frac{x^{7}}{336} + ... + C}{1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{6}}{48} + ...}[/tex]
Innsetting av initialverdi gir [tex]C = 0[/tex]. Altså får vi:
[tex]y = \frac{x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{40} + \frac{x^{7}}{336} + ... }{1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{6}}{48} + ...}[/tex]
Jeg er imidlertid fortsatt litt usikker på grenseverdien av dette. Ettersom vi i teller her kan sette [tex]x[/tex] utenfor en parantes, hvor så alle leddene inne i parantesen vil ha samme polynomgrad som nevner, skulle jeg tro at grenseverdien går mot uendelig. Men sa du ikke at den skal gå mot [tex]0[/tex]?. Da må jeg i så fall tenke litt nærmere. Kan og være jeg har gjort feil
.