matematikk.net

Spørsmålet er som følger:

Show by induction that:

2+4+5+...+(2n)=n(n+1)


Noen som kan hjelpe meg?

l0litah wrote:Spørsmålet er som følger:
Show by induction that:
2+4+5+...+(2n)=n(n+1)
Noen som kan hjelpe meg?

først for n=1
deretter
U(k) => U(k+1)

U(k): 2+4+5+...+2k=k(k+1)

så

U(k+1): 2+4+5+...+2k+2(k+1)=(k+1)(k+2)

Hmm.. Er dette et svar eller en forklaring? Mulig jeg spør dumt nå..

l0litah wrote:Hmm.. Er dette et svar eller en forklaring? Mulig jeg spør dumt nå..

tja...start...
du går på høyskole...eller...

Induksjon kan jo forklares kort slik. Som er i praksis det Janhaa har gjort.

1. Vi testet om det stemmer for det første tallet [tex]n_0[/tex] (Nesten alltid 1)

2. Vi antar det stemmer for et tilfeldig tall [tex]k[/tex]. Altså at [tex]n=k[/tex]

3. Vi sjekker om det stemmer for [tex]k+1[/tex], ved å bruke antagelsen i [tex]2[/tex].

[tex]2+4+6+...+(2n)=n(n+1) [/tex]

Vi tester om det stemmer for [tex]n=1[/tex]

[tex]VS = 2*\cdot1 = 2[/tex]

[tex]HS = 1\cdot(1+1) = 2[/tex]

VS=Venstre side og HS=høyre side

Vi antar at det stemmer for [tex]n=k[/tex]

[tex]2+4+6+...+(2k)=k(k+1) [/tex]

Vi sjekker om det stemmer for [tex]k+1[/tex], altså

VS = (2+4+6+...+(2k))+(2(k+1))

Vi bruker at det stemmer for [tex]n=k[/tex]

[tex]VS = (k(k+1) )+(2(k+1))[/tex]

[tex]VS = (k+1)(k+2)[/tex]

Så ser vi på høyre side

[tex]HS = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) [/tex]

Jeg gjør det.
Det jeg skjønner er at
Man lar n=1
Derreter n=k
og så n=k+1

Blir da svaret

2+4+6...+(2*1)=1(1+1)
2+4+6...+(2*k)=k(k+1)
2+4+6...+(2*k+1)=k+1((k+1)-1)

?

Peke på svaret mitt. Du kan dessverre ikke bruke = fordi du ikke vet om HS og VS er det samme. Regn de derfor ut hver for seg. Eller sett et spørretegn over likhetstegnet.

Okai. Tror jeg skjønner det. Prøver med et eksempel igjen

1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1)

1. Ser om det stemmer for n=1
VS: (4*1)-3=1
HS: 1*(2*1-1) = 1
2 Vi antar at det stemmer for n=k
1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)
3. Sjekke om det stemmer for k+1
VS:(1+5+9+...+(4k-3))+(1(2k-1))
VS: (4k-1)(2k-1)
Høyre side:
HS:(4k-1)((4k-1)-1)=((4k-1)(2k-1)

Stemmer dette?

Vi antar at det stemmer for k

1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)

Så sjekker vi om det stemmer for k+1. Altså vi legger til et ledd mer på venstresiden og får da

Under har vi k ledd på venstresiden

1+5+9+...+(4k-3)

Under har vi k+1 ledd på venstresiden

1+5+9+...+(4k-3) + (4(k+1)-3)

1+5+9+...+(4k-3) + (4k+1)

Også bruker vi at

1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)

Og får

[ 1+5+9+...+(4k-3) ] + (4k+1)

[ k(2k-1) ] + (4k+1)

osv =)

Også bruker vi at

1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)

Og får

VS:[ 1+5+9+...+(4k-3) ] + (4k+1)

HS: [ k(2k-1) ] + (4k+1)

Blir det da:
(4k-3)+(4k+1) =(2k-1)+(4k+1)

Går du på høyskole / universitet må grunnlegende aritmetikk og algebra sitte som fjell.

[tex][ k(2k-1) ] + (4k+1) = (k+1)*(2k+1)[/tex]

Via elementær aritmetikk og algebra

Nebuchadnezzar wrote:Går du på høyskole / universitet må grunnlegende aritmetikk og algebra sitte som fjell.

[tex][ k(2k-1) ] + (4k+1) = (k+1)*(2k+1)[/tex]

Via elementær aritmetikk og algebra

Jeg vet, jeg vet. Har snart fullført 3-åring øk.adm studie, men mangler matte som jeg har store problemer med å få has på.
Tilbake til regnestykket. Forstår hva som skjer til nå, men å komme videre får jeg ikke til...

[tex]VS = (k+1)(2k+1)[/tex]
[tex]HS = (k+1)(2(k+1)-1) = (k+1)(2k+1)[/tex]

Siden HS = VS følger resten via induksjon

Om du ikke er så stø kan du bare forkorte og trekke sammen HS og VS hver for seg og vise at de er like. Du trenger ikke faktorisere begge sider. Så lenge du viser at de er identiske.

Okai. Tusen takk. Sitter å gjør øvingsoppgaver nå. Dere har vært til stor hjelp til veien mot forståelse. Takk igjen.