matematikk.net

[tex]100![/tex] eller [tex]4^{(4^4)}[/tex]

[tex]sin(cos(1))[/tex] eller [tex] cos(sin(1)) [/tex]

[tex]\frac{1}{\ln(2)}[/tex] eller [tex]\frac{1}{\ln(3)}[/tex]

[tex]100! > 4^{4^4}[/tex], pga [tex]\log_{10}(100!) = \sum_{n=1}^{100}\log_{10}(n) \approx 157[/tex], mens [tex]4^{4^4} = 4^4\log_{10}(4) = 256\cdot0.6\approx 154[/tex]

Og [tex]10^{157} > 10^{154}[/tex].

Tar den siste jeg da. Siden [tex]\ln x[/tex] er en strengt voksende funksjon, må [tex]\frac{1}{\ln x}[/tex] være strengt avtagende. Dermed er [tex]\frac{1}{\ln 2}>\frac{1}{\ln 3}[/tex], siden [tex]2<3[/tex].

Blr for dumt ac claude og bruke kalkulator :p Ellers ser det riktig ut
hva med en litt stygg en da?

[tex]\Large \sqrt[\pi]{\pi}[/tex] eller [tex]\large\sqrt[e]{e}[/tex]

prøver meg på skøyer'n her da...

gitt
[tex]f(x)=x\ln(x)[/tex]
deriverer og setter lik null:
[tex]f^,(x)=\ln(x)+1=0\,\,dvs[/tex]
[tex]x=1/e[/tex]

[tex]1/e \,>\, 1/\pi\,\,dvs[/tex]

[tex]f(1/e)\,<\,f(1/\pi)[/tex]

[tex](1/e)\cdot \ln(1/e)\,<\,(1/\pi)\cdot \ln(1/\pi)\\[/tex]

[tex]1/e\,>\,(1/\pi)\cdot \ln(1/\pi)[/tex]

[tex]\frac{\ln(e)}{e}\,>\,\frac{\ln(\pi)}{\pi}[/tex]

[tex]\ln(e^{1\over e})\,>\,\ln(\pi^{1\over\pi})[/tex]
dvs
[tex]e^{1\over e}\,>\,\pi^{1\over\pi}[/tex]

Løsninga mi er nesten helt lik

Blir å se på funksjonen [tex]x^{\frac{1}{x}}[/tex]
også vise at [tex]e^{1/e}[/tex] er toppunktet

Luddig løsning ^^

Nebuchadnezzar wrote:Blr for dumt ac claude og bruke kalkulator :p

Ingen kalkulator gitt. Finnes formler for å regne ut summen på, og da er resten ganske rett fram.

[tex]\sum_{n=1}^{100}\log_{10}(n) \approx 157[/tex]

Forklare meg hvordan ?

Er bere nysgjerrig =)

Jeg antar han brukte en integraltilnærming.

La f(x)=[tex]\log_{10}(x)[/tex]

Da kan [tex]S=\sum_{n=1}^{N} \log_{10}(n)[/tex] tilnærmes med

[tex]S\approx \frac{\int_{0}^{N} f(x+1)\rm{d}x + \int_{1}^{N} f(x)\rm{d}x}{2}[/tex]

Med en maksimal feil på

[tex]E= \frac{\int_{0}^{N} f(x+1)\rm{d}x - \int_{1}^{N} f(x)\rm{d}x}{2}[/tex]

Eller noe slikt. Er pensum i analyse 2.

Selv fikk jeg 147 med en grov tilnærming

1*10+1.1*10+1.2*10+1.3*10+1.4*10+1.5*10+1.6*10+1.7*10+1.8*10+1.9*10+2=147

Nebu: du har en approksimasjon; [tex]\log(n!)\approx n\log(n)-n+\frac{\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}+\frac{\log(\pi)}{2}[/tex]

For [tex]\log_{10}(n!)[/tex] må du da dele alle leddene på [tex]\log(10)[/tex]

For n=100 ble de da:

[tex]100*\log_{10}(100)-100/\log(10)+(1/6)\log_{10}(8040100)+(1/2)\log_{10}(\pi)[/tex]

Da får du sånn ca

[tex]100*2-(100/2.25)+(1/6)*6*3*0.3+a>0\approx 156.xx[/tex] som jeg valgte å runde opp pga jeg forenklet 8.0401 til 8 = 2^3. Kunne sikkert rundet ned også da jeg også forenklet 100/log(10) i motsatt retning, dvs valgte enn lavere verdi på log(10) enn det egentlig er, men tallet ville fortsatt blitt 156 som fortsatt er større enn 154. Har også skrevet a>0 fordi jeg ikke vet hva [tex]0.5\log_{10}(\pi)[/tex] er annet enn at det er større enn null og et sted mellom 0.5 og 0.75 delt på ca 2.2 ([tex]\pi > \mathrm{e}[/tex] og [tex]\log(\mathrm{e})=1[/tex]).

Approksimasjonen for log(n!) kom jeg på av den grunn at jeg har benyttet meg av den i en eller annen Projekt-Euler oppgave for noen år siden.

Ellers kan man sikkert gjøre som Espen skriver også, uten at jeg har sjekket nøyaktigheten man får.

For den som gjenstår kan man bruke Maclaurin-rekkene for [tex]\sin(x)[/tex] og [tex]\cos(x)[/tex] med f.eks to eller tre ledd for å få grei nok approksimasjon.

[tex]\sin(x) = 1-1/6+1/120 \approx 1-1/6 = 0.83[/tex]
[tex]\cos(x) = 1-1/2+1/720 \approx 0.5[/tex]

Også vet vi at [tex]\sin(x)\approx x[/tex] mens [tex]\cos(x)\approx 1[/tex] for små [tex]x[/tex], dermed må [tex]cos(sin(1)) > sin(cos(1))[/tex].