matematikk.net

Hei! Trenger veiledning i følgende oppgave:

[tex]\rm{{Show that for any numbers a and b}}{\rm{, the sine inequality }}\left| {\sin b - \sin a} \right| \le \left| {b - a} \right|{\rm{ is true}}{\rm{.}}\[/tex]

Beviset ser kanskje enkelt ut, men vet ikke helt hvordan jeg skal vise det matematisk, og å prøve med forskjellige tall og anta det stemmer for alle tall blir kanskje for enkelt. Så jeg er takknemlig for gode tips

Er du kjent med sekantsetningen (engelsk: mean value theorem)? I såfall vil den være veldig hendig å bruke her!

Ja den er jeg noen lunde kjent med, men ikke godt å si når det kommer til bruken av det...

Jeg må altså gå ut i fra [tex]\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}=f(derivert)(c)[/tex]
?

Ja, sekantsetningen gir at [tex]\frac{\sin b - \sin a}{b-a} = \cos c[/tex] for en [tex]c \in (a,b)[/tex]. Dette vil gjelde uansett valg av a og b. Hvis du nå tar absoluttverdien av begge sider på ligningen og ser om du kan si noe om [tex]|\cos c|[/tex] så er du nok snart i mål!

EDIT: mente sekantsetningen!

Vi vet jo nå, følgelig, at [tex]\[\left| {\cos c} \right| \ge 0{\rm{ for alle c i (a}}{\rm{,b) }} \Rightarrow \left| {\frac{{\sin b - \sin a}}{{b - a}}} \right| \ge 0{\rm{ og p{\aa} en m{\aa}te m{\aa} vi implisere uttrykket til }}\left| {\sin b - \sin a} \right| \le \left| {b - a} \right|.{\rm{ Noe som}}{\rm{, i mine {\o}yner iallefall}}{\rm{, ser litt avansert}}{\rm{, eller umulig ut}}...\][/tex]

Du er inne på riktige tanker! Du vet at |cos c| er større eller lik 0, men er det noe annet du vet om de trigonometriske funksjonene? Noe de alltid er mindre enn eller lik? ...

1 selvfølgelig

Takker for hjelpa

Enda et bevisoppgave:

Skal vise at grafen til ligningen [tex]{x^3} + {y^3} = xy-1\[/tex] har ikke horisontal tangent i noen punkter.
Har derivert ligningen ved hjelp av "implisitt derivasjon" og fått
[tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{x - 3{x^2}}}{{3{y^2} - x}}\[/tex]
Men vi ser jo at den dertiverte er lik null når [tex]x = 0 \cup x = \frac{1}{3}\[/tex], ligger feilen i funksjonen av den deriverte? Altså at jeg har derivert feil?

Takker for svar!

Ser ut som en slurvefeil i derivasjonen/algebraen. Du skal ha [tex]y-3x^2[/tex] i telleren. =)

Ja selvfølgelig, slik at vi får [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{y - 3{x^2}}}{{3{y^2} - x}}\[/tex]. Det betyr altså at så lenge y [symbol:ikke_lik]3x^2, så har vi ikke en horisontal tangent.
Skal jeg da i dette tilfellet sette [tex]y = \sqrt[3]{{xy - {x^3}}}\[/tex] slik at vi ender opp med [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\sqrt[3]{{xy - {x^3}}} - 3{x^2}}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{xy - {x^3}}}} \right)}^2} - x}}\[/tex]
og prøve å få noe fornuftig ut av det?