matematikk.net

Hei. Skal finne de tre kubiske røttene av -1+i
Det jeg har gjort er å sette z^3= r^3(cos(3x)+isin(3x) som gjelder generelt. Men hva skal jeg gjøre videre?

Du har

[tex]z^3 = -1 + i = \sqrt2(\frac{-1}{\sqrt2} + i \frac{1}{\sqrt2}) = \sqrt2\left[\cos(\frac{3\pi}4 + 2\pi N)+i\sin(\frac{3\pi}4+2\pi N)\right][/tex]

Nå kan du bruke at [tex]\left[\cos(x)+i\sin(x)\right]^{\frac1n} = \cos(\frac xn)+i\sin(\frac xn)[/tex].

Den formelen kan vises ved å se på

[tex]e^{inx} = \left(e^{ix}\right)^n[/tex]

Men får jeg ikke bare 1 løsning da? 3pi/4 + n*2pi, gir jo bare en løsning det er verdt å bruke..

Hvis du deler på 3 er det ikke lenger 2pi*N, og du får tre løsninger.

Hehe, stemmer