matematikk.net

Skriver den småartige oppgaven her jeg, tar den på engelsk. For å unngå missforståelser =)

----------------

Let [tex]d_1, d_2, \cdots ,d_n [/tex] be odd positive integer , and let [tex]f_1(x_1, x_2, \cdots x_n), f_2(x_1, x_2, \cdots x_n), \cdots , f_n(x_1, x_2, \cdots x_n)[/tex] be real-coefficient polynomials with degree at most [tex]d_1 - 1, d_2 - 1, \cdots ,d_n - 1[/tex] respectively. Consider the system of equations [tex]x_i^{d_i} =f_i(x_1, x_2, \cdots x_n) , i = 1, 2, \cdots , n[/tex]. Prove that there is a solution of this system of equations in [tex]\mathbb{R}^n [/tex].

La [tex]g_i=x_i^{d_i}-f_i[/tex]. Betrakter man [tex]g_i[/tex] som odde grads polynomer i [tex]x_i[/tex], vil alle disse ha minst én reell rot. Derfor eksisterer det en løsning på systemet.

Jeg skjønner ikke helt argumentet ditt plutarco, du sier at

g_i som polynom i x_i vil ha en reell rot. Dette stemmer jo for ethvert valg av x_j for j =/= i, men hvordan velger du disse? Hvis du starter med i = 1, og velger x_j for j > 1, så vil g_1 ha èn reell rot x_1. Nå har du jo allerede valgt x_1,x_2,...,x_n for å få roten til g_1, men det er jo ikke nødvendigvis slik at (x_1,...,x_n) er en løsning for alle g_i.

Sant det. Får tenke litt mer på den oppgaven.