matematikk.net

Figurene under viser to areal. [tex]A(t)[/tex] er arealet under [tex]y=sin(x^2)[/tex] fra [tex]0[/tex] til [tex]t[/tex].
B(t) trekanten formet av området [tex](0,0) \, , \, (0,t) [/tex]og [tex](t,sin(t^2))[/tex]

Regn ut [tex]\lim_{t \to 0^+} \frac{A(t)}{B(t)}[/tex]

Maclaurinrekka til [tex]\sin x[/tex] er [tex]\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/tex], som gir

[tex]\sin (x^2) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{4k+2}}{(2k+1)!}.[/tex]

Herav følger at

[tex]B(t) = \frac{t \cdot \sin(t^2)}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{t^{4k+3}}{2(2k+1)!}[/tex]

og

[tex]A(t) = \int_0^t \sin (x^2) \, dx = \int_0^t \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{4k+2}}{(2k+1)!} = \Big[ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)(2k+1)!} \Big]_0^t = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{t^{4k+3}}{(4k+3)(2k+1)!}.[/tex]

Dermed blir

[tex]\frac{A(t)}{B(t)} \;=\; \frac{\frac{t^3}{3} \:-\: \frac{t^7}{42} \:+\: \cdots}{\frac{t^3}{2} \:-\: \frac{t^7}{6} \:+\: \cdots} \;=\; \frac{\frac{1}{3} \:-\: \frac{t^4}{42} \:+\: \cdots}{\frac{1}{2} \:-\: \frac{t^4}{6} \:+\: \cdots}\:[/tex] ,

som medfører at

[tex]\lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{A(t)}{B(t)} \;=\; \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} \;=\; \frac{2}{3}.[/tex]

Alternativ løsning:

Vi har at [tex]A(t) = \int^t_0 sin(x^2) dx, og B(t) = \int^t_0 \frac{\sin(t^2)}{t}x dx = \frac{t\sin(t^2)}{2}.[/tex]

Da er [tex]A^{\prime}(t) = \sin(t^2), og B^{\prime}(t) = \frac{\sin(t^2)+2t^2\cos(t^2)}{2}[/tex]

Vi er ute etter [tex]L = \lim_{t \to 0} \frac{A(t)}{B(t)}, [/tex] og vi bruker l'hopital:

[tex]L = \lim_{t \to 0} \frac{2\sin(t^2)}{\sin(t^2)+2t^2\cos(t^2)} =\lim_{t \to 0} \frac{2\frac{\sin(t^2)}{t^2}}{\frac{\sin(t^2)}{t^2}+2\cos(t^2)} = \frac{2}{3} [/tex]

Riktige begge to =)