komplekse tall

[Gjest]

Noen som kan hjelpe meg her.

Finne alle komplekse løsninger av likningen z^5=1?

Er det da 5 løsninger på det. alle 5te røtter av +-1

[Knuta2]

Ikke spør meg hvordan jeg har kommet fram til røttene, med her er de.

Eksakt:
z1 = 1
z2 = - ([rot][/rot](5)+1)/4 + [rot][/rot](-2*([rot][/rot](5)-5))/4*i
z3 = - ([rot][/rot](5)+1)/4 - [rot][/rot](-2*([rot][/rot](5)-5))/4*i
z4 = ([rot][/rot](5)-1)/4 + [rot][/rot](2*([rot][/rot](5)+5))/4*i
z5 = ([rot][/rot](5)-1)/4 - [rot][/rot](2*([rot][/rot](5)+5))/4*i

Cirka:
z1 = 1
z2 = - 0.80901699 + 0.587785
z3 = - 0.80901699 - 0.587785
z4 = 0.30901699 + 0.9510565
z5 = 0.30901699 - 0.9510565

[Knuta2]

Cirka:
z1 = 1
z2 = - 0.80901699 + 0.587785
z3 = - 0.80901699 - 0.587785
z4 = 0.30901699 + 0.9510565
z5 = 0.30901699 - 0.9510565

selvfølgelig måtte jeg glemme i'en på slutten av cirkaverdiene.

z2 = - 0.80901699 + 0.587785 i
z3 = - 0.80901699 - 0.587785 i
z4 = 0.30901699 + 0.9510565 i
z5 = 0.30901699 - 0.9510565 i

[Gjest]

Hei...
Kan noen forklare ressonemetet bak:

Eksakt:
z1 = 1
z2 = - (√(5)+1)/4 + √(-2*(√(5)-5))/4*i
z3 = - (√(5)+1)/4 - √(-2*(√(5)-5))/4*i
z4 = (√(5)-1)/4 + √(2*(√(5)+5))/4*i
z5 = (√(5)-1)/4 - √(2*(√(5)+5))/4*i

Jeg har selv vanskeligheter med å bruke algoritmen som står i boken vedr z^5=1

Takk

[Gjest]

Likningen z^5=1 kan enkelt løses ved hjelp av De Moivres formel som uttrykker at (cosx + isinx)^n=cos(nx) + isin(nx) for alle naturlige tall n. Ettersom 1=cos(2k[pi][/pi]) + isin(2k[pi][/pi]) der k er et vilkårlig heltall, har likningen z^5=1 røttene

z=cos(2k[pi][/pi]/5) + isin(2k[pi][/pi]/5)

der k=0,1,2,3,4. (NB: [pi][/pi] er pi)