Profittfunksjonen
[tex]\Pi(x,y) = -12x^2 - 16y^2 - 12xy + 4992x + 6240y - 64000[/tex]
Begrensninger
[tex]x+y \geq 300[/tex] (Produksjonen av x og y må overstige eller være lik 300).
[tex]x+y \leq 1000[/tex] (Produksjonen av x og y må ligge under 1000).
Her kan det lønne seg å tegne opp [tex]D_\Pi[/tex] (definisjonsområdet til profittfunksjonen).
Du vil da se at du får en firkant omsluttet av linjene: [tex]y=300-x[/tex], [tex]y=1000-x[/tex], x- og y-aksen.
Definisjonsområdet
Kandidatene:
Hjørnene er kandidater for globale maksimum, så vi har punktene:
A(0, 300), B(300, 0), C(1000, 0), D(0, 1000)
Randene: Randene er en annen plass hvor ekstremalverdiene kan ligge, så vi må kontrollere disse også. Dette gjøres ved at vi setter inn for x eller y i den opprinnelige profittfunksjonen (slik at den blir en envariabelsfunksjon). Deretter deriverer vi og setter lik null for å finne potensielle punkter.
Siden vi vet fra fasit at svaret er (148, 152), så vet vi at den ligger på linjestykket AB (se grafisk fremstilling over). Jeg kommer derfor ikke til å finne verdiene for alle hjørnepunktene og linjestykket CD.
[tex]AB = y=300-x[/tex]
Setter inn for y i [tex]\Pi(x,y)[/tex]
[tex]\Pi(x,300-x) = -12x^2 - 16(300-x)^2 - 12x(300-x) + 4992x + 6240(300-x) - 64000[/tex]
og får:
[tex]\Pi(x) = -12x^2 - 16(300-x)^2 - 12x(300-x)+4992x+6240(300-x) -64000[/tex]
som vi deriverer og setter lik null, for så å løse for x.
[tex]\Pi(x) = 4752-32x = 0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{297}{2} = 148,5[/tex]
Her regner jeg med at fasiten har rundet nedover for x, siden man ikke kan produsere halve enheter (med mindre vi snakker om produksjon av liter).
Uansett vil dette gi [tex]y=300-148,5 = 151,5[/tex] (likningen for linjestykket AB).
Altså er maksimum i [tex]P^*(148,5,\,151,5)[/tex]
Uten fasit
Uten fasit ville jeg først regnet ut hjørnene A, B, C og D.
Deretter gått langs randene som beskrevet ovenfor.
1) f(x,x-300)
2) f(300,y)
3) f(x, x-1000)
4) f(0, y)
Derivert alle disse med hensyn på den ukjente og satt lik 0 for å finne kritiske punkter. Du ville da stått igjen med en rekke punkter som du skulle puttet inn i den oppgitte profittfunksjonen og funnet den verdien som ga størst profitt.
Dette punktet ville vært den mengden du ønsket å produsere for å maksimere profitt.
