matematikk.net

La [tex](G,\circ)[/tex], [tex]G=\{x\in\mathbb{R}|0<x<1\}[/tex] være en gruppe med en operasjon slik at [tex]x^{-1}=1-x[/tex]. Finn en operasjon [tex]\circ[/tex] som oppfyller dette kravet.

Først finner vi en enheten: Hvis [tex]e^{-1} = e[/tex], må 1-e=e, dvs e = 1/2. Vi prøver en lineær kombinasjon først: [tex]x \circ y = ax+by[/tex]. I så fall må [tex]\frac{1}{2} = x \circ x^{-1} = ax+b(1-x) =(a-b)x+b[/tex], og vi får [tex]a = b = \frac{1}{2}[/tex]. Vi ser at 1) G er lukket under denne operasjonen, 2) e er identiteten, 3) [tex]x \to 1-x[/tex] er en inversoperasjon, og 4) at operasjonen er assosiativ. Dette blir da den eneste operasjonen som tilfredsstiller kravene.

Er den operasjonen assosiativ da?

[tex]x\circ (y\circ z)=\frac{x}{2}+\frac{\frac{y}{2}+\frac{z}{2}}{2}=\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}[/tex]

[tex](x\circ y)\circ z=\frac{\frac{x}{2}+\frac{y}{2}}{2}+\frac{z}{2}=\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{2}[/tex]

Oi, litt for kjapp der ja. Og konklusjonen at dette var den eneste operasjonen som tilfredsstilte kravene er uansett feil. Får prøve igjen senere.

Definerer en funksjon f:[0,1)-> [0,1] ved at

[tex]f(x)=0.5+x[/tex] dersom [tex]x\in [0,0.5)[/tex]
[tex]f(x)=0.5[/tex] dersom [tex]x=0.5[/tex] og
[tex]f(x)=-0.5+x[/tex] dersom [tex]x\in (0.5,1)[/tex].

[tex]0.5 [/tex] er identiteten og gruppeoperasjonen er

[tex]x\circ y = f(x+y\,mod(1)\,)[/tex].
Får dermed at

[tex]0.5\circ x=x\circ 0.5=f(0.5+x \, mod(1) \,)=x[/tex] for alle x mellom 0 og 1, så 0.5 er identiteten.

[tex]x\circ x^{-1}=f(x+1-x \,mod(1))=f(0)=0.5[/tex], og operasjonen skal også være assosiativ såvidt jeg har funnet ut.