matematikk.net

gradientvektore er normal til nivåkurver siden



[tex]F(x,y,z)=c[/tex]

når x, y og z er gitt ved

[tex]x=x_0+su_1[/tex] [tex]y=y_0+su_2[/tex] [tex]z=z_0+su_3[/tex]

hvis vi deriverer får vi:

[tex]\frac{dF}{ds}=\frac{dF}{dx}\frac{dx}{ds}+\frac{dF}{dy}\frac{dy}{ds}+\frac{dF}{dz}\frac{dz}{ds}= \nabla F\cdot u=0[/tex]

u angir retning til (x,y og z) siden den er en skalar. Og da er

[tex]\nabla F[/tex] normal til retning av nivåkurve. Men hvordan har det seg at

[tex]\nabla F[/tex] er normal til en funksjon F(x,y,z) som ikke er en funksjon av kjerner. Kan det vises?

Det gir ikke mening å spørre om en vektor er normal til en skalarfunksjon. Kan du forklare litt nærmere hva det er du lurer på?

da er det noe jeg ikke har fått med meg ja. Men hvis vi ser på funksjonen:

[tex]F(x,y,z)=x^2+3y-2z^3=c[/tex]

Når den ikke er gitt ved at x,y og v er funksjon av u-vektor hvordan viser man at gradientvektor står normalt til den?

Det jeg eegentlig lurer på er hvordan man får link fra directional derivative hvor

[tex]x=x_0+su_1[/tex] [tex]y=y_0+su_2[/tex] [tex]z=z_0+su_3[/tex]

og den deriverte er gitt ved

[tex]\frac{dF}{ds}=\frac{dF}{dx}\frac{dx}{ds}+\frac{dF}{dy}\frac{dy}{ds}+\frac{dF}{dz}\frac{dz}{ds}= \nabla F\cdot u[/tex]

til å gjelde for vanlige funsjoner F uten å bruke u. Bare ved å finne

[tex]\nabla F[/tex] vet man at den øker mest i den retningen uten å ha definert u. (jeg har bevist på annen måte at gradienten gir retning med størst stiginstall for en vektor men det er ikke sånn de har vist det her så tydeligvis vil jeg nå si har de kommet fram til at man ikke trenger u for å benytte seg av at [tex]\nabla F[/tex] alltid vil gi retning med størst stigningstall)

Såvidt jeg ser så er vel ikke u-vektor annet enn tangentvektor til kurven i det punktet? Altså at [tex]x = x_0 + su_1 \ \ y = y_0 + su_2 \ \ z = z_0 + su_3[/tex] er tangentlinja til kurven i det punktet?

La oss først ta for oss hvorfor gradienten er normal til nivåflatene. Dette viser du ved å bruke definisjonen ev den retningsderiverte på tangentvektorene i ethvert punkt på nivåflaten. Ettersom denne retningsderiverte er null per antakelse, og hverken gradienten eller tangentvektorene har lengde null, også per antakelse, må tangentvektoren til nivåflaten og gradientvektoren være normale.


Når det kommer til å utlede uttrykket for den retningsderiverte, hvordan kan man utlede et uttrykk som inneholder u uten å bruke u? Jeg tror ikke det er mulig.