matematikk.net

Fant på denne selv... Håper den fungerer og ikke er altfor lett å se.

Vi vet at [tex]\sin {\left( x \right)^2} + \cos {\left( x \right)^2} = 1[/tex]

Dermed vet vi også at [tex]\frac{d}{{dx}}\int \,1\; dx = \frac{d}{{dx}}\int {\sin {{\left( x \right)}^2} + \cos {{\left( x \right)}^2}} dx[/tex] stemmer.

Regner vi først ut integralene først og tar derivasjonen senere ser vi at.

[tex]\int 1 {\;} {} dx = x + C[/tex]

Vi deler opp høyre side til to integraler
[tex] I = \int {\sin {{\left( x \right)}^2} + \cos {{\left( x \right)}^2}dx} [/tex]

[tex] I = \int {\sin {{\left( x \right)}^2}dx + } \int {\cos {{\left( x \right)}^2}dx} [/tex]

Vi bruker delvis integrasjon på hvert av leddene. Først første integralet.

[tex] I = \int {\sin {{\left( x \right)}^2}dx} = \int {\sin \left( x \right)\sin \left( x \right)dx} [/tex]

[tex] u = \sin \left( x \right),\frac{{du}}{{dx}} = \cos \left( x \right){\rm{ og }}v^{\tiny\prime} = \sin \left( x \right),v = - \cos \left( x \right) [/tex]

[tex] I = \sin \left( x \right)\left( { - \cos \left( x \right)} \right) - \int {\cos \left( x \right)\left( { - \cos \left( x \right)} \right)} dx [/tex]

[tex] I = - \sin \left( x \right)\cos \left( x \right) + \int {\cos \left( x \right)\cos \left( x \right)} dx [/tex]

[tex] u = \cos \left( x \right),\frac{{du}}{{dx}} = - \sin \left( x \right){\rm{ og }}v^{\tiny\prime} = \cos \left( x \right),v = \sin \left( x \right) [/tex]

[tex] I = - \sin \left( x \right)\cos \left( x \right) + \left[ {\cos \left( x \right)\sin \left( x \right) - \int { - \sin \left( x \right)\sin \left( x \right)} dx} \right][/tex]

[tex] I = 0 + I [/tex]

[tex] I = 0 [/tex]

Orker ikke gjøre det samme for [tex] \int{\,cos(x)^2\,dx} [/tex]
Men vi finner ut at også dette integralet blir 0. Summerer da

[tex] \frac{d}{{dx}}\int {1 \; dx} = \frac{d}{{dx}}\int {\sin {{\left( x \right)}^2} + \cos {{\left( x \right)}^2}dx} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\int {1{\;} dx} = \frac{d}{{dx}}\int {0 + 0\;dx} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\;\left[ x + C \right] = \frac{d}{{dx}}\left[ C \right] [/tex]

[tex] 1 = 0 [/tex]

Nebuchadnezzar wrote:[tex]\frac{d}{{dx}}\int 1 {\;} {} dx = x + C[/tex]

For det første er dette feil, men du retter opp denne senere i posten.

Nebuchadnezzar wrote:[tex] I = 0 + I [/tex]

[tex] I = 0 [/tex]

Dette er galt. Resultatet ditt blir 0=0, ikke I=0.

Nå er det store spørsmålet hvorfor rett frem delvis integrasjon ikke fungerer på
[tex]\int{\cos(x)^2}dx[/tex] og [tex]\int{\sin(x)^2}dx[/tex] da ^^

Er første gang jeg ser at man ender opp med et udefinert uttrykk. Selvfølgelig kan jeg integrere disse stykkene, syntes bare det var artig.

Det er ikke noe spesiellt med de integralene. La u og v være arbitrære deriverbare funksjoner. Se på integralet

[tex]I=\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x[/tex]

Vi bruker delvis integrasjon med f(x)=u og g(x)=v:

[tex]I=\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x=uv-\int \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}v\rm{d}x[/tex]

Hvis vi bruker delvis igjen med de samme funksjonene men omvendt, vil dette bli

[tex]\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x=uv-\int \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}v\rm{d}x=uv-uv+\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x=\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x[/tex]

så alt du får ut av dette er at

[tex]\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x=\int u\frac{\rm{d}v}{\rm{d}x}\rm{d}x[/tex]

eller ekvivalent,

[tex]0=0[/tex].

Så det som fører til 0=0-uttrykket er å bruke en delvis integrasjon, og deretter gå tilbake.