matematikk.net

(La [tex]A^\dagger[/tex] stå for [tex]A[/tex]s komplekskonjugerte transponerte.)

La [tex]H[/tex] være en hermitisk matrise [tex](H^{\dagger}=H)[/tex]. Vis at

[tex]U=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(iH)^n}{n!}=I+iH-\frac{H^2}{2}-\frac{iH^3}{6}+...[/tex]

er en unitær matrise [tex](U^\dagger U=I)[/tex].

Edit: Fikset feilen påpekt av ClaudeShannon.

Skal grensen egentlig gå fra n = 0? Virker sånn ut i fra de første leddene av summen (som du har skrevet ut).

Ja, det stemmer selvfølgelig. Takk for at du påpekte det!

Vi vet at Hermitiske matriser er (unitært) diagonaliserbare. Altså kan vi skrive [tex]H=VDV^{-1}[/tex] med [tex]D[/tex] en diagonalmatrise og [tex]V[/tex] en unitær matrise. Altså får vi [tex]V^{-1}UV=\sum_{n=0}^{\infty} \frac {(iD)^n} {n!} = \left ( \sum_{n=0} ^{\infty} \frac {(id_j)^n} {n} \right ) _{j,j}[/tex] der jeg med den siste notasjonen mener diagonalmatrisen med diagonalelementer lik det inni parentesen, der [tex]d_j[/tex] er elementene på diagonalen til [tex]D[/tex]. Siden summen inne i parentesen da er lik [tex]e^{id_j}[/tex] har vi videre [tex]V^{-1}UV=e^{iD}[/tex] der jeg med denne notasjonen (som jeg lover vil bli den siste jeg finner på akkurat nå) mener diagonalmatrisen hvis diagonalelement j er lik [tex]e^{id_j}[/tex], der [tex]d_j[/tex] er det tilsvarende diagonalelementet i D. Definisjonen kan også gjøres for ikke-diagonale matriser, og vi har da klart [tex]\left ( e^{iA}\right ) ^{\dagger} = e^{-iA}[/tex], og [tex]e^{iA} e^{iB} = e^{i(A+B)}[/tex] for alle matriser [tex]A, B[/tex]. Vi får altså [tex]U=Ve^{iD}V^{-1}[/tex], og konjugattransponerer vi får vi [tex]U ^{\dagger}={V^{\dagger}}^{-1} e^{-iD} V^{\dagger}[/tex]. Ganger vi sammen disse uttrykkene får vi [tex]UU^{\dagger} = Ve^{iD}V^{-1}{V^{\dagger}}^{-1} e^{-iD} V^{\dagger} = Ve^{iD}e^{-iD} V^{\dagger} = Ve^{i(D-D)} V^{\dagger}=VIV^{\dagger}=I[/tex] som ønsket.

Vi merker oss forøvrig også at den teoretiske biten av dette går bra - potensrekken for [tex]e^z[/tex] konvergerer overalt, så summene våre konvergerer og for den opplagte definisjonen av matrisesummen gjør også denne det og vi er ferdige.

Flott!

For å være i overkant pirkete.:

Karl_Erik wrote:[tex]Ve^{iD}e^{-iD} V^{\dagger} = Ve^{i(D-D)} V^{\dagger}[/tex]

Dette holder fordi [tex]D[/tex] kommuterer med seg selv, men er ikke sant generelt, så det kan være greit å presisere.

Haha, jeg digger å gå fra å hjelpe folk med derivasjon i ungdomsskole/vgs-områdene, til å bli fullstendig forvirret i denne delen

TrulsBR wrote:For å være i overkant pirkete.:

Karl_Erik wrote:[tex]Ve^{iD}e^{-iD} V^{\dagger} = Ve^{i(D-D)} V^{\dagger}[/tex]

Dette holder fordi [tex]D[/tex] kommuterer med seg selv, men er ikke sant generelt, så det kan være greit å presisere.

Oi, du har helt rett - jeg så bare tilfellet der D er en diagonalmatrise og derfor ganske grei for meg i hodet mitt og skrev det ned, men som du sier gjelder det ikke generelt. Fint du presiserer!