matematikk.net

Finn alle tallpar slik at

[tex]\sqrt{\,a!b!\,}[/tex]

Blir et heltall

Om [tex]a=b[/tex] er det trivielt sant. Ellers, anta [tex]a>b[/tex]. Vi har et opplagt et heltall hvis og bare hvis [tex] b \cdot (b+1) \cdot \ldots \cdot a[/tex] er et kvadrattall. Faktisk er det aldri en perfekt potens (selvfølgelig med unntak av en førstepotens), noe Erdos og Selfridge viste og som du godt kan lese et bevis for her. Det er veldig mulig dette blir litt overkill og det er en grei løsning for kvadrattall, men den tror jeg isåfall at jeg skal overlate til noen andre for øyeblikket.

Litt usikker på hva du mener her, hva med tallene 3 og 4, for eksempel

[tex]\sqrt{\,4!\,3!\,}\,=\,12[/tex]

Nebuchadnezzar wrote:Litt usikker på hva du mener her, hva med tallene 3 og 4, for eksempel

[tex]\sqrt{\,3!\,4!\,}\,=\,12[/tex]

Altså tilfellet der a<b

Man har jo naturligvis som løsninger at a=b+1 der a er et perfekt kvadrat. Beviset i artikkelen gjelder for tilfeller der man har produkter av flere enn ett påfølgende heltall. For øvrig kan man, uten tap av generalitet, anta at [tex]a\geq b[/tex] pga symmetrien mellom a og b. Vanskeligheten i denne oppgaven er jo å vise at det ikke fins flere løsninger enn disse, noe som i følge artikkelen virker å være ikke helt trivielt.

Karl_Erik wrote: Vi har et opplagt et heltall hvis og bare hvis [tex] b \cdot (b+1) \cdot \ldots \cdot a[/tex] er et kvadrattall. Faktisk er det aldri en perfekt potens (selvfølgelig med unntak av en førstepotens),

Jeg bare tolktet dette som Karl Erik mener at oppgaven ikke har noen løsninger, og grunngav dette med artikkelen. (Som jeg bare skummet gjennom)

Forandret også posten min før du svarte, oppdaget det med symmetrien =)

Så beviset ligger i at man har produkter av flere påfølgende heltall

Men tror det blir litt forskjellig når vi har flere... Nei jeg vet ikke, men hva med

[tex]\sqrt{4!5!6!}[/tex] ?

Selvfølgelig er 4 et perfekt kvadrat mens [tex]\sqrt{9!10!11!}[/tex] fungerer derimot ikke...

Artikkelen sier at det ikke fins løsninger når a>b+1 (eller b>a+1) , siden produktet av to eller flere påfølgende heltall aldri er et perfekt kvadrat, så løsningene er at a=b og at a=b+1 for perfekte kvadrater a. (eller at b=a+1 for perfekte kvadrater b)

Oisann, jeg slurvet litt, ja. Går selvfølgelig når b=a+1 og b er et kvadrattall. Det jeg mente å si/burde ha sagt var som plutarco sa at om |b-a|>2 finnes ingen løsninger, og jeg ville begrunne dette med artikkelen. Når det gjelder potenser på formen a! b! c! tror jeg Erdos har skrevet en artikkel om dette også, men det er mulig jeg roter.