Kvadratfrie tall
Posted: 11/04-2011 03:37
Finn alle naturlige tall [tex]a[/tex] slik at [tex]a^a-a[/tex] er kvadratfritt.
Hvis a > 2, finnes det et primtall p som deler a-1. Det betyr at [tex]a \equiv 1 \pmod p[/tex]. Men [tex]a^a-a = a(a-1)(1+a+...+a^{a-2})[/tex], og dersom p deler a-1 må [tex]1+a+...+a^{a-2} \equiv 1+1+...+1 \equiv a-1 \equiv 0 \pmod p[/tex], så p deler [tex]1+a+...+a^{a-2}[/tex] samtidig som p deler a-1, så [tex]a^a-a[/tex] er ikke kvadratfritt.
Dermed står vi igjen med tilfellene a = 2 og a = 1. Vi ser øyeblikkelig at a = 2 er eneste mulighet for at [tex]a^a - a[/tex] er kvadratfritt.