matematikk.net

Vis at hvis et naturlig tall har odde antall divisorer (inkludert 1 og tallet selv), så er det et kvadrattall.

Vis at hvis [tex]56a=65b[/tex] så er [tex]a+b[/tex] sammensatt, dvs. ikke et primtall.

Vis at hvis [tex]AB \cdot CD = EEFF[/tex], der hver bokstav står for et av sifferene i {0, 1, ..., 9} slik at samme bokstav gir samme siffer og ulike bokstaver gir ulike siffer, så har du gjort en regnefeil.

(Disse er nok lette for flere av dem som vanker her.)

[tex]EEFF=11(100E+F)=AB*CD[/tex].

Dette betyr at AB eller CD er delelig på 11, og følgelig er A=B eller C=D, som er en motsigelse.

[tex]56a=65b[/tex]. La [tex]a+b=c[/tex]. Da er [tex]56a=65(c-a)=65c-65a[/tex]. [tex]11^2a=65c=5*13c[/tex], som gir at c må være delelig på [tex]11^2[/tex], og følgelig er c sammensatt.

Antall divisorer for tall på formen [tex]\prod_{i=1}^n p_i^{r_i}[/tex] er [tex]\prod_{i=1}^n (r_i+1)[/tex]. (Her er alle [tex]p_i[/tex] ulike primfaktorer.) Av formelen ser vi at dersom antall divisorer skal være odde, må alle [tex]r_i[/tex] være partall, og da er tallet et kvadrattall.

Alt er så klart helt korrekt.