matematikk.net

Anta at vi har et punkt [tex](x,y)[/tex] i planet, der [tex]x,y\in \mathbb{Z}[/tex]. Vi kan lage nye punkter ved å anvende følgende tre operasjoner:

I : [tex](x,y)\rightarrow (x+1,y+1)[/tex]
II : Gitt at [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] begge er partall: [tex](x,y)\rightarrow (\frac{x}{2},\frac{y}{2})[/tex]
III: [tex](x,y)\cdot (y,z) \rightarrow (x,z)\,,\,z\in\mathbb{Z}[/tex]

I starten har vi kun ett punkt, [tex](x,y)[/tex].

La [tex](x,y)=(7,29)[/tex]. Finnes det en måte å lage punktet [tex](3,1991)[/tex] på?

Når kan vi fra et av punktene [tex](x,y)[/tex] og [tex](a,b)\,,\,a,b\in\mathbb{Z}[/tex] produsere det andre?

Definer for punktet P [tex]f(P)=f(x,y)=m[/tex] der [tex]x-y=2^k m[/tex] med m odde. Vi ser da at dersom [tex]d|f(P_1)[/tex], [tex]d|f(P_2)[/tex] vil [tex]d|f(Q)[/tex] for punktet [tex]Q[/tex] vi får av å anvende operasjon 3 på de to punktene [tex]P_1, P_2[/tex]. (For de to første tilfellene er funksjonsverdien faktisk uendret.) Går vi det litt nærmere etter i sømmene ser vi at vi faktisk også kan si at [tex]f(Q) \geq \min(f(P_1), f(P_2))[/tex], men uansett kan vi legge merke til at [tex]11|f(7,29)=11[/tex], men [tex]11 \not | f(3,1991)[/tex]. Altså er svaret på det første spørsmålet nei.

Helt riktig!