Kontinuerlig funksjon
Posted: 01/03-2011 23:46
Finn alle kontinuerlige [tex]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] slik at hvis x-y er rasjonal er f(x)-f(y) det også.
Sett [tex]y=x+q[/tex] for et positivt rasjonalt tall q. Da er [tex]x-y[/tex] rasjonal, så vi har at [tex]\frac{f(x+q)-f(x)} q=c_q[/tex] er rasjonalt for alle valg av [tex]x[/tex]. Tenker vi på [tex]c_q[/tex] som en funksjon av [tex]x[/tex] ser vi at den er en sum av kontinuerlige funksjoner og derfor selv kontinuerlig, men siden den ikke kan ta irrasjonale verdier gir skjæringssetningen oss at den må være konstant når [tex]x[/tex] endres.
Siden vi ved å sette [tex]x=z+q, x=z[/tex] får de to likningene [tex]c_q=\frac {f(x+2q)-f(x+q)} q[/tex] og [tex]c_q=\frac {f(x+q)-f(x)} q[/tex] kan vi summere dem og få [tex]c_q=\frac {f(x+2q)-f(x)} {2q} = c_{2q}[/tex].
Dette gjelder selvfølgelig generelt, så vi har [tex]c_{nq}=c_q[/tex] for alle rasjonale tall [tex]q[/tex] og heltall [tex]n[/tex]. Men dette betyr at [tex]c_q[/tex] er totalt uavhengig av [tex]q[/tex]. (Skriver vi [tex]q=\frac a b[/tex] med [tex]a,b[/tex] heltall har vi jo [tex]c_q=c_{bq}=c_a=c_{a \cdot 1} = c_1=C[/tex].) Sett så [tex]x=0[/tex]. Da har vi [tex]\frac {f(q)-f(0)} q = C[/tex], så [tex]f(q)=Cq+f(0)[/tex] for alle rasjonale tall [tex]q[/tex].
Altså er [tex]f(x)[/tex] en lineær funksjon på de rasjonale tallene, og av tetthet og kontinuitet er den da en lineær funksjon på hele R. Vi ser ved innsetting at en lineære funksjon [tex]f(x)=Ax+B[/tex] oppfyller kravene våre hvis og bare hvis [tex]A[/tex] er rasjonal, så dette er alle løsningene.