matematikk.net

Anta at [tex]a_0,\ a_1,\ a_2,...[/tex] er en Gibonacci-følge (dvs at [tex]a_n=a_{n-2}+a_{n-1} \forall n\geq 2[/tex]). Vis at det finnes reelle tall [tex]s,\ t[/tex] slik at for alle [tex]n\in \mathbb N[/tex], så er
[tex]a_n=s\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^n+t\left(\frac{1-\sqrt{5}}2\right)^n[/tex].

Ved å anta løsninger på formen [tex]a_n=m^n[/tex] får vi etter innsetting i differensligningen

[tex]m^{n-2}+m^{n-1}=m^n[/tex] eller

[tex]m^{-2}+m^{-1}=1[/tex] som er det samme som [tex]m^2-m-1=0[/tex] som har løsninger [tex]m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex].
En generell løsning av Gibonacci følgen vil være en lineærkombinasjon av disse, der konstantene s og t er bestemt utfra initialbetingelser for [tex]a_0[/tex] og [tex]a_1[/tex]

Fin løsning.