matematikk.net

Hei

Skal løse 7 + 2^x=12. Jeg vet at det sikkert er enklest å flytte 7 over til høyre side, og så ta logaritmen til 2^x og logaritmen til 5. Så blir det x ganger logaritmen til 2 er lik logaritmen til 5, så dele med logaritmen til 2 på hver side.

Men så er spørsmålet: Kan man slik likninga er gitt i oppgaven gjøre det slik? :
lg7 + lg2^x = lg12 (altså "ta" logaritmen til hvert ledd, uansett om det er flere på den ene enn den andre siden?)
lg7+xlg2=lg12
x=(lg12-lg7)/lg2

??

nei, dette kan man ikke gjøre, fordi man ikke gjør det samme på begge sider av likhetstegnet.

For ikke å forandre stykket, må vi utføre sammeopperasjonen på begge sider, så om man bare tar logaritmen på begge sider, får vi.

[tex]7 + 2^x=12[/tex]

[tex]lg(7 + 2^x)=lg(12)[/tex]

Som er mye vanskeligere å jobbe med, bruk førstemetoden din du.,

(altså "ta" logaritmen til hvert ledd, uansett om det er flere på den ene enn den andre siden?)

Med matematisk språk så er grunnen til at dette ikke går at logaritmen ikke bevarer addisjon. (faktisk det som gjør logaritmen så hendig, er at den gjør multiplikasjon til addisjon)

Så for oppgaven 2 = 4 - 5^x er det bare tilfeldig at begge metodene fører fram, altså alternativ 2 med lg2 = lg4 - xlg5 gir samme svar som førstemetoden....

Ja, det er tilfeldig, og i dette tilfellet stemmer det fordi [tex]\lg 4 - \lg 2 = \lg 2[/tex], men det gjelder ikke generelt.

Tenk deg den generelle ligningen [tex]a = b - 5^x[/tex]. Den riktige metoden gir at [tex]x = \frac{\lg(b - a)}{\lg 5}[/tex]. Ditt forslag er at du også kan løse den slik: [tex]x = \frac{\lg b - \lg a}{\lg 5} = \frac{\lg(b/a)}{\lg 5}[/tex]. Disse to uttrykkene for x må jo nødvendigvis være like, så du må ha at
[tex]\lg\left(\frac{b}{a}\right) = \lg(b - a)[/tex], som igjen betyr at [tex]\frac{b}{a} = b - a[/tex]. Dersom denne likheten er oppfylt, da kan du bruke den 'juksemetoden' din.