matematikk.net

Anta at A og B er to n ganger n-matriser slik at [tex]A^a=I_n[/tex] for et heltall a, og [tex]B^b=O_n[/tex] for et heltall b, der I_n er n ganger n identitetsmatrisen og O_n er n ganger n nullmatrisen. Anta også at AB=BA. Vis at A+B er invertibel.

Dette følger direkte fra oppgave 1.1 i Atiyah-MacDonald som sier at summen av en enhet og et nilpotent element er en enhet.

For [tex]A[/tex] er en enhet siden [tex]A^{a-1}[/tex] er en invers for [tex]A[/tex].

Og vi har at
[tex]1 = (A + B)(A^{-1}-A^{-2}B+A^{-3}B^2-\ldots+A^{b}B^{b-1})[/tex]

siden [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] kommuterer.

Den 'direkte delen' av løsningen din er selvfølgelig helt riktig, men jeg stusset litt på denne:

FredrikM wrote:Dette følger direkte fra oppgave 1.1 i Atiyah-MacDonald som sier at summen av en enhet og et nilpotent element er en enhet.

I en kommutativ ring, så, men matriseringen er jo ikke kommutativ?

EDIT: Det går selvfølgelig fint bare vi ser på underringen generert av A, B og I, ja, beklager. Da var vel løsningen dobbelt riktig, da.