matematikk.net

Hei

Har spurt om denne bevisoppgaven før, men fikk egentlig ikke helt svar... Ser jo at det er helt logisk, men hvordan FØRER man den...?

La x være et helt tall.
Vis at 6 går opp i x(x-1)(x+1).

Du må vise at både 2 og 3 er faktorer i uttrykket.

Det er klart at 2 må være faktor i x(x-1)(x+1). For hvis x er odde, da er både x-1 og x+1 jevn, og vice versa, hvis x-1 (og dermed også x+1) er odde, da er x jevn.

For å vise at 3 går opp i x(x-1)(x+1), merk at ethvert heltall kan skrives som enten 3a, eller 3a+1, eller 3a+2, hvor a er et eller annet heltall. F.eks. kan 14 skrives som 3*4+2. Nå kan vi ta det case-by-case. Hvis x er på formen 3a, da er x(x-1)(x+1) delelig med 3, siden x er det. Hvis x er på formen 3a+1, da er x-1 = 3a+1-1=3a, så x-1 er altså delelig med 3. Og hvis x er på formen 3a+2, da er x+1 = 3a+2+1 = 3a+3 = 3(a+1), altså er x+1 delelig med 3.

Går 2 opp i x(x-1)(x+1) ? Hva med 3? Siden dette er primtall må i så fall 2*3 = 6 gå opp i uttrykket. Men prøv først å overbevise deg selv om hvorfor 2 og 3 må gå opp i uttrykket.