matematikk.net

R2 prøve integrasjon og trigonometri. Kapittel 1,2 og 3

Fredag 5. november 2010

Del 1: Ingen hjelpemidler tilgjengelig


Oppgave 1

Deriver funksjonene:
a)[tex] \qquad f(x)=2\cos(3x-\pi)[/tex]
b)[tex] \qquad x^2 \sin(x) [/tex]
c)[tex] \qquad sin^2(3x)[/tex]
d)[tex] \qquad \frac{sin(2x)}{x}[/tex]

Integrer funksjonene:
e)[tex] \qquad \int{\,4x^2-\frac{3}{x}-\frac{\sqrt{x}}{x^3}}\,\text{dx}[/tex]
f)[tex] \qquad \int{4\cdot e^{2x+3}}\,\text{dx}[/tex]
g) Bestem en eksakt verdi for [tex]\cos{(15^o)}[/tex].


Oppgave 2
a) Tegn grafene til funksjonene f og g
der [tex]f(x)=x^2-4x+5 [/tex] og [tex]g(x)=-x^2+4x-1 [/tex]
b) Finn x-koordinatene til skjæringspunktene mellom de to grafene.
c) De to grafene avgrenser en flate. Bestem volumet av det romlegemet denne flaten beskriver når vi dreier flaten[tex] 360^o[/tex] om x-aksen.



Del 2: Alle hjelpemidler tilgjengelig unntatt kommunikasjon

Oppgave 3

Løs likningene ved regning:
a) [tex]3\cos(\frac{2}{5}x)-2=0 \qquad , \qquad x\in[0,5\pi][/tex]
b) [tex]cos^2(x)-sin^2(x)-7cos(x)-3=0 \qquad , \qquad x\in[0,5\pi][/tex]
c) [tex]2cos(x)+2sin(x)+\sqrt{\,2\,} \qquad , \qquad x\in[-\pi,\pi][/tex]


Oppgave 4

På innsiden av en stor øy kommer det inn to tidevannsbølger, en fra sør og en fra nord. På et sted måler vi vannstanden ved hjelp av en målepinne. Den gjennomsnittlige vannstanden på denne målepinnen er 150cm. Etter x timer har bølgen som kommer fra sør, en bølgelengde på målt i centimeter. Hvis dette var den eneste tidevannsbølgen, ville vannstanden på stedet det neste døgnet ha vært gitt ved

[tex]\qquad \qquad f(x)=90\sin(0.52x)+150 \qquad , \qquad x\in[0,24\pi][/tex]

a) Finn amplituden, likevektslinjen og perioden til f.

Tidevannsbølgen fra nord har en bølgehøyde på [tex]120\cos(0.52x)[/tex]målt i centimeter. Samlet vannstand er dermed gitt ved

[tex]\qquad \qquad g(x)=90\sin(0.52x)+120\cos(0.52x)+150 \qquad , \qquad x\in[0,24][/tex]

b) Vis at funksjonsuttrykket kan skrives som

[tex]\qquad \qquad g(x)=150\sin(0.52x+0.93)+150[/tex]


Oppgave 5

En funksjon er gitt ved [tex]\;\; f(x)=6e^{-0.5x}\sin()x[/tex]
a) Finn eventuelle nullpunkter for f.
b) Finn [tex]\,f^{\tiny\prime}(x)\,\,[/tex] ved regning.
c) Bruk uttrykket for til å sette opp en fortegnslinje for [tex]\,f^{\tiny\prime}(x)[/tex]
d) Bruk resultatet i oppgave c) til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.
e) Tegn grafen til f.
f) For hvilken x-verdi er veksthastigheten [tex]\,f^{\tiny\prime}(x)[/tex] minst? Hvor stor er den da?

[tex]\mathcal{Fasit}[/tex]

Del 1: Ingen hjelpemidler tilgjengelig


Oppgave 1

Deriver funksjonene:
a)[tex] \qquad f(x)=2\cos(3x-\pi)[/tex]
[tex] \: \, \qquad f(x)=-2\cos{(3x)}[/tex]
[tex] \, \qquad f^{\tiny\prime}(x)=6\sin{(3x)}[/tex]

bruker her at [tex]cos(x-\pi)=-cos(x)[/tex] og kjerneregelen [tex](f(g(x)))^{\tiny\prime}=f^{\tiny\prime}(g(x))\cdot g^{\tiny\prime}(x)[/tex]
der [tex]f(x)=cos(g(x)) \quad , \quad f^{\tiny\prime}(x)=sin(g(x))[/tex] og [tex]g(x)=3x \quad , \quad g^{\tiny\prime}(x)=3[/tex]

b)[tex] \qquad f(x)=x^2 \sin(x) [/tex]
[tex] \; \qquad f^{\tiny\prime}(x)=2x \sin(x)+x^2cos(x)[/tex]
[tex] \; \qquad f^{\tiny\prime}(x)=x\(2 \sin(x)+x\cos(x)\)[/tex]

Anvender oss av produktregelen [tex](uv)^{\tiny\prime}=u^{\tiny\prime}v+uv^{\tiny\prime}[/tex]
der [tex]u=x^2\quad , \quad u^{\tiny\prime}=2x[/tex] og [tex]v=sin(x) \quad , \quad v^{\tiny\prime}=cos(x)[/tex]

c)[tex] \qquad f(x)=\sin^2(3x)[/tex]
[tex] \, \; \qquad f(x)=\(\sin(3x)\)^2[/tex]
[tex] \; \qquad f^{\tiny\prime}(x)=2sin(3x)\cdot\cos(3x)\cdot3[/tex]
[tex] \; \qquad f^{\tiny\prime}(x)=6sin(3x)cos(3x)[/tex]
[tex] \; \qquad f^{\tiny\prime}(x)=3sin(6x)[/tex]

Bruker først kjerneregelen der [tex]f(x)=(g(x))^2 \quad , \quad f^{\tiny\prime}(x)=2(g(x))[/tex] og [tex]g(x)=sin(3x) \quad , \quad g^{\tiny\prime}(x)=3cos(x)[/tex]
også bruker vi regelen som sier at [tex]2\sin(ax)\cos(ax)=sin(2ax)[/tex]

d)[tex] \qquad f(x)=\frac{sin(2x)}{x}[/tex]
[tex] \qquad f(x)=\frac{sin(2x)}{x}[/tex]

Integrer funksjonene:
e)[tex] \qquad \int{\,4x^2-\frac{3}{x}-\frac{\sqrt{x}}{x^3}}\,\text{dx}[/tex]
f)[tex] \qquad \int{4\cdot e^{2x+3}}\,\text{dx}[/tex]
g) Bestem en eksakt verdi for [tex]\cos{(15^o)}[/tex].


Oppgave 2
a) Tegn grafene til funksjonene f og g
der [tex]f(x)=x^2-4x+5 [/tex] og [tex]g(x)=-x^2+4x-1 [/tex]
b) Finn x-koordinatene til skjæringspunktene mellom de to grafene.
c) De to grafene avgrenser en flate. Bestem volumet av det romlegemet denne flaten beskriver når vi dreier flaten[tex] 360^o[/tex] om x-aksen.



Del 2: Alle hjelpemidler tilgjengelig unntatt kommunikasjon

Oppgave 3

Løs likningene ved regning:
a) [tex]3\cos(\frac{2}{5}x)-2=0 \qquad , \qquad x\in[0,5\pi][/tex]
b) [tex]cos^2(x)-sin^2(x)-7cos(x)-3=0 \qquad , \qquad x\in[0,5\pi][/tex]
c) [tex]2cos(x)+2sin(x)+\sqrt{\,2\,} \qquad , \qquad x\in[-\pi,\pi][/tex]


Oppgave 4

På innsiden av en stor øy kommer det inn to tidevannsbølger, en fra sør og en fra nord. På et sted måler vi vannstanden ved hjelp av en målepinne. Den gjennomsnittlige vannstanden på denne målepinnen er 150cm. Etter x timer har bølgen som kommer fra sør, en bølgelengde på målt i centimeter. Hvis dette var den eneste tidevannsbølgen, ville vannstanden på stedet det neste døgnet ha vært gitt ved

[tex]\qquad \qquad f(x)=90\sin(0.52x)+150 \qquad , \qquad x\in[0,24\pi][/tex]

a) Finn amplituden, likevektslinjen og perioden til f.

Tidevannsbølgen fra nord har en bølgehøyde på [tex]120\cos(0.52x)[/tex]målt i centimeter. Samlet vannstand er dermed gitt ved

[tex]\qquad \qquad g(x)=90\sin(0.52x)+120\cos(0.52x)+150 \qquad , \qquad x\in[0,24][/tex]

b) Vis at funksjonsuttrykket kan skrives som

[tex]\qquad \qquad g(x)=150\sin(0.52x+0.93)+150[/tex]


Oppgave 5

En funksjon er gitt ved [tex]\;\; f(x)=6e^{-0.5x}\sin()x[/tex]
a) Finn eventuelle nullpunkter for f.
b) Finn [tex]\,f^{\tiny\prime}(x)\,\,[/tex] ved regning.
c) Bruk uttrykket for til å sette opp en fortegnslinje for [tex]\,f^{\tiny\prime}(x)[/tex]
d) Bruk resultatet i oppgave c) til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.
e) Tegn grafen til f.
f) For hvilken x-verdi er veksthastigheten [tex]\,f^{\tiny\prime}(x)[/tex] minst? Hvor stor er den da?