matematikk.net

Finn en eksakt verdi for:

[tex]\large \tan(37,5^o)[/tex]

Har at [tex]\tan(75)=\frac{\sin(60)+1}{\cos(60)}=\sqrt{3}+2[/tex] og [tex]\tan(75)=\frac{2\tan(37.5)}{1-\tan^2(37.5)}[/tex].

La [tex]\tan(37.5)=x[/tex]. Da blir

[tex]2x=(\sqrt{3}+2)(1-x^2)[/tex] så [tex]x^2+\frac{2}{\sqrt{3}+2}x-1=0[/tex].

abc-formelen gir dermed at [tex]x=\frac{-\frac{2}{\sqrt{3}+2}\pm\sqrt{\frac{4}{7+4\sqrt{3}}+4}}{2}=\frac{-\frac{2}{\sqrt{3}+2}\pm4\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}}}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}+2}\pm2\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{3}-2\pm 2\sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]. Siden svaret må være positivt er den eksakte løsningen [tex]\sqrt{3}-2+ 2\sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex].

Dette kan forenkles enda litt mer. Vi har at [tex]2\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}[/tex]

Evt bruk at [tex]\sin(105^o) = \sin(60+45) [/tex] og samme for cosinus, og at [tex]\sin(75) = sin(105) , \ \cos(75) = -\cos(105) [/tex]. Så kan identiteten [tex]\tan x = \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}[/tex] anvendes

Ja, begge to er korrekte.