matematikk.net

Sett at det er gitt en figur i tre dimensjoner som følger:

S(1): z = 1/ [symbol:rot] ((x^2) + (y^2))

Hvor 1 < [symbol:rot] ((x^2) + (y^2)) < 2


S(2): z = 1

Hvor 0 < [symbol:rot] ((x^2) + (y^2)) < 1


S(3): z = 0,5

Hvor 0 < [symbol:rot] ((x^2) + (y^2)) < 2


Gitt også at man har et vektorfelt F, og man skal bruke Stokes' teorem til å finne:


[symbol:integral] F * dr

for randen til S(1) og hvor normalvektorene går ut av figuren.

Her tenkte jeg å ta utgangspunkt i randen gitt ved z = 1 ettersom vi da har en enkel sirkel med radius 1 og normalvektor k.

Det viser seg imidlertid i følge fasiten at man her faktisk må ta utgangspunkt i randen i selve området mellom z = 0,5 og z = 1 - og utregningen er ganske kompleks. Man kan ikke projisere figuren til randen i z = 1.

Dette synes jeg er litt forvirrende ettersom jeg har støtt borti lignende problemer tidligere hvor man kan gjøre dette. Dersom man f.eks. har en kule eller sylinder går dette bra. Det ser vi f.eks. på http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... eorem.aspx

Hvorfor kan man ikke gjøre dette i dette tilfellet?

Jeg siterer litt fra linken din:

"Let S be an oriented smooth surface that is bounded by a simple, closed, smooth boundary curve C with positive orientation. Also let be a vector field then,..."

Takk for svar.

Før jeg sjekket svaret ditt nå tenkte jeg at grunnen til at vi her ikke kan projisere randen er fordi dette kun kan gjøres dersom overflaten har en normalvektor som tilsvarer k. I og med at vi har skal se bort i fra "bunnen" og "lokket" på figuren vil ingen av normalvektorene peke i denne retningen. Ergo kan vi ikke projisere til sirkelen i z = 1.

Er dette også riktig resonnert?

Du er sannsynligvis inne på noe. Jeg var kaskje litt rask med det første svaret mitt. Jeg burde vel snarere ha understreket "smooth surface". Når det er sagt, må jeg si at jeg ikke er helt sikker på at har fått med meg hele sammenhengen. Du nevner f.eks. noe om z = 0,5 som jeg ikke helt forstår hvordan passer inn.