matematikk.net

Kittelsens var en barnerik familie. Da konfirmasjonen til et av barna nærmet seg, bestemte foreldrene at hele barneflokken skulle ta seg en tur til frisøren. En jenteklipp kostet 120 kr, en gutteklipp 100 kr.

Mens praten gikk, fikk frisøren greie på at et av barna skulle konfirmeres. Da konfirmanten hadde tatt plass i stolen, sa frisøren: "Deg skal jeg klippe for halv pris!" Da alle var klippet, fikk frisøren til sammen 510 kroner.

Hvor mange gutter og hvor mange jenter var det?


Ved å gjette meg fram kom jeg fram til at det var 3 jenter og 2 gutter. Men denne metoden hadde ikke fungert hvis det hadde vært høyere tall.. så jeg lurer på hvordan man kan løse oppgaven mer matematisk ved å sette opp en likning elns.

Jeg er ikke spesielt flink i dette... Men prøver meg likevel.
La oss anta at det er konfirmaten er jente, det gir oss likningen

120x + 100y + 60 = 510

http://www.wolframalpha.com/input/?i=12 ... iophantine

Ser vi at den ikke har noen heltall løsninger. Likninger der vi bare ser på
heltalløsningene kaller vi for diofantiske likninger.
Hvordan man løser slike er litt difust.

Om vi så antar at konfirmanten er gutt. Altså nå tipper vi bare om kjønnet på konfirmanten og ikke på antallet. Dette gir oss likningen


120x + 100y + 50 = 510

http://www.wolframalpha.com/input/?i=12 ... iophantine

Ser at denne har løsningene

x = 5n-2 og y = 7 - 6n

Der n, er et heltall. Så må vi huske på at y må være positiv. Dermed blir den eneste løsningen

x=3 og y=1

Nå var konfirmanten en gutt og dermed må vi legge til en på guttene. Altså er løsningen x=3 og y=2

Nøyaktig hvordan man løser en diofantisk løsnin er jeg litt usikker på...

Ok, takk for svar. Men skjønner ikke helt hvordan man kommer fram til
x = 5n-2 og y = 7 - 6n.

Går det an å finne det ut uten å bruke wolframalpha?

Såvidt jeg kan skjønne har du ikke nok informasjon til å sette opp noe generelt her. Oppgaven løses nok best ved prøv og feil.

Du kan først se at konfirmanten må være gutt, om vi deler alle tall på 10 får vi , at summen av konfirmanten og x jenter + y gutter = 51, som blir et oddetall, og siden prisen per gutt, og prisen per jente er partall, må prisen på konfirmanten være oddetall, og eneste oddetallet er da 5.

Så du må løse den diofantiske ligningen 120x+100y=460.
Som er en typisk diofantisk likning, om du ikke kan løse de, er nok tipping eller å logisk ta bort løsningen den beste måten.
Kan med en gang se at for å få 60 må vi ha 3,8,13 jenter osv, siden 8 jenter gir et for høyt tall må det være 3. og vi står da igjenn med 100y=100, så det er 1 gutt, og en guttekonfirmant.