matematikk.net

La ABC väre en likesidet trekant. Vis at om P er et punkt i planet finnes en trekant med sidelengder PA, PB og PC. For hvilke punkter P er denne trekanten degenerert?

Was bedeutet "degenerert" ?

Es bedeutet, dass die drei Ecke auf einer Linie liegen.

(Sånn fordi jeg fort dummer meg ut er det jeg mener å si hvertfall at trekanten er degenerert om de tre hjørnene ligger på en linje. Ekvivalent at en av sidene er lik summen av de to andre, eller at arealet er null. Med en degenerert trekant mener man altså en trekant som ikke egentlig er en 'ordentlig' trekant. )

Kort versjon:

Følger mer eller mindre direkte av Ptolemaios at det finnes en trekant med sider [tex]AP[/tex], [tex]BP [/tex] og [tex]CP[/tex] og at [tex] P [/tex] ligger på omsirkelen til trekant [tex]ABC[/tex]

Lang versjon:

Anta at en trekant med sider[tex] AP[/tex], [tex]BP [/tex]og [tex]CP[/tex] er degenerert og dermed at [tex]BP = AP + CP[/tex]

Dersom [tex]P [/tex]er et punkt inni [tex]ABC[/tex] har vi at [tex]BP \le AC \leq AP+CP[/tex] (Trekantulikheten), som er en motsigelse og følgelig er ikke [tex]P[/tex] et punkt på innsiden av trekant [tex]ABC.[/tex]

Dersom[tex] P[/tex] er et punkt på trekant [tex]ABC [/tex](anta at[tex] P[/tex] er på linjestykket [tex]AC[/tex]) har vi at [tex]BP \leq AB = AC = AP+PC [/tex], med likhet hvis og bare hvis [tex]P = A[/tex] eller [tex]P = C[/tex]. Vi får også av symmetri at [tex]P = B [/tex] er en mulighet.

Linja gjennom[tex] A[/tex] og [tex] C[/tex] deler planet i to halvplan. Anta nå at [tex]P[/tex] ligger på utsiden av trekant [tex]ABC[/tex] og anta uten tap av generalitet at [tex]P[/tex] ikke ligger i samme halvplan som [tex]B[/tex]. Ptolemaios gir oss at:

[tex]BP \cdot AC = AB \cdot CP + AP \cdot BC[/tex]

hvis og bare hvis [tex]P[/tex] er et punkt på omsirkelen til trekant [tex]ABC[/tex].

[tex]ABC[/tex] er en likesidet trekant og vi setter [tex]AB = AC = BC = s.[/tex]
Vi har at [tex]BP \ge AP[/tex] og [tex]BP \ge CP[/tex] (Kan fremstille bevis dersom det ønskes).

For at en trekant med sidelengder [tex]AP[/tex], [tex]BP [/tex]og [tex]CP[/tex] skal være degenerert må derfor [tex]BP = AP + CP[/tex].

Vi har i så fall at

[tex]BP \cdot AC = BP \cdot s = s(CP + AP) = AB \cdot CP + AP \cdot BC [/tex]

og får derfor ifølge Ptolemaios' teorem at [tex]P [/tex] ligger på omsirkelen til trekant [tex]ABC.[/tex]

At det finnes en trekant med sider [tex]PA[/tex], [tex]PB[/tex] og [tex]PC[/tex] følger av Ptolemaios' uliket:

Anta at [tex]BP \geq AP[/tex] og [tex]BP \geq CP[/tex]

[tex]BP \cdot AC \leq AB \cdot CP + AP \cdot BC[/tex]

[tex]BP \cdot s \leq s \cdot CP + AP \cdot s[/tex]

[tex]BP \leq CP + AP [/tex]