matematikk.net

Summen av to positive heltall er 2310, vis at produktet deres ikke er dellig på 2310.

Jeg tenker noe slikt:

Anta at produktet av de to tallene er delelig på 2310. Kaller tallene a og b. Da har vi at [tex]ab = a(2310-a) = 2310k[/tex] for en positiv k. Dette gir at [tex]a^2 = (a-k) \cdot 2310[/tex], som medfører at 2310 er faktor i [tex]a^2[/tex]. Men [tex]2310 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11[/tex], som alle er primfaktorer, så da må også [tex]a[/tex] minst være delelig på 2310. Da må [tex]b \leq 0[/tex], som er en selvmotsigelse.

Mer eller mindre ekvivalent med Vektormannens løsning:

2310 er produktet av fem distinkte primtall. Om ett av disse deler a har vi, siden summen av a og b er delelig med alle fem, at det må dele b også. Om ab er delelig med alle fem må derfor a og b individuelt være delelige med alle fem, som gir at [tex]2310|a[/tex], [tex]2310|b[/tex]. Siden a og b er positive heltall er de derfor minst 2310, og summen deres strengt større enn 2310, og en motsigelse.

Begge løsningene er selvfølgelig riktige