matematikk.net

Kurven 3x^2-2xy+y^2=9 er en ellipse. Ifølge Keplers lover går planetene i slike ellipsebaner.

Vis at punktet (2,3) ligger på kurven, og finn likningen på tangenten i dette punktet.

Anta at kurven er banen til en partikkel. Når partikkelen er i punktet (2,3), så har den hastigheten 2m/s i x-retning. Finn partikkelens hastighet i y-retning.


Trenger litt hjelp til å løse denne oppgaven. Noen smarte hoder som kan trå til?

Lar du [tex]f(x,y)=3x^2-2xy+y^2[/tex] står [tex]\nabla f[/tex] normalt på alle nivåkurvene, så dersom du setter inn for koordinatet (2,3) vil du få en vektor som står normalt på tangenten i dette punktet. Da kan du deretter finne ligningen til tangenten ut fra dette.

En enkel metode er å finne gradienten til:
[tex]f(x,y) = 3x^2 -2xy + y^2 \; \mathrm{i}\; (2,3) [/tex]
Dermed har retningen på normalentil kurven og finner enkelt tangenten.
Hastigheten er rettet langs tangenten og når du kjenner tangenten og en hastiheskomponent er det enkelt å beregne den andre.

Red: Jeg ser at plutarco er inne på det samme!

Får rett og slett ikke til oppgaven jeg. Mulig det er fordi jeg er så sliten i hodet etter alle andre oppgaver som man har holdt på med. Noen som har en litt nøyere forklaring?

Brukt implisitt derivasjon, og kommet frem til at
y'(x)=3x-y/x-y.

Så stigningstallet blir da -3..

Dette skal vel stemme om jeg ikke tar helt feil?

Sitter litt fast på hvordan jeg skal finne hastigheten i y-retning.
Virker virkelig som om hodet mitt har tatt seg en fridag!

Putter inn x=2 i den deriverte formelen, og kommer frem til 3 m/s.. Stemmer dette?

Stigningstallet ser ut til å være riktig og det betyr at tangenten i dette punktet er paralell til vektoren: i -3j. Hastigheten er rettet langs tangenten og siden x-komponenten er 2 må y-komponenten bli -6.

Prøver å finne ut hvordan du kom frem til -6 der, men mitt slitne hode fungerer tydeligvis ikke lenger. Kan du vise hvordan du kom frem til det litt mer detaljert?

Dersom vektorene v og u har samme retning er: v = ku der k er en skalar.
Da betyr at når:[tex]\vec v = \langle v_x,v_y\rangle ,\; \vec u = k\vec v \; \mathrm{og}\; u_x = a, \; \mathrm{er} \; k = \frac{a}{v_x}\; \mathrm{og}\; u_y = v_y\frac{a}{v_x} [/tex]

Her er a = 2, v[sub]x[/sub] = 1 og v[sub]y[/sub] = -3.