Page 1 of 1

Rare polynomer

Posted: 10/11-2010 21:56
by Karl_Erik
Vi sier at et polynom P(x) med reelle koeffisienter er rart hvis det er sant at dersom P(a) er et heltall må a være et heltall. Finn alle rare polynomer.

Posted: 11/11-2010 00:24
by Charlatan
Anta at [tex]P(x) = a_nx^n+...+a_0[/tex] er rart hvor n > 1 og [tex]a_n > 0[/tex].

La [tex]Q(x)=P(x+1)-P(x)-2=(n-1)a_{n}x^{n-1}+...+a_1-2[/tex].

[tex](n-1)a_n > 0[/tex], så det finnes et tall N > 0 slik at [tex]Q(x) \geq 0[/tex] for alle x > N. Det vil si at [tex]P(x+1) \geq P(x)+2[/tex] for alle x > N.

[tex]P^{\prime}(x) = na_nx^{n-1}+...+a_1. na_n > 0[/tex], så vi kan velge et tall M>0 slik at [tex]P^{\prime}(x) > 0[/tex] for alle x > M. La T være det største tallet av N og M. Velg et heltall k > P(T). Siden P er stigende og ubegrenset på [tex](T,\infty)[/tex], finnes det en unik x > T slik at P(x) = k. Da er x et heltall. Men samtidig finnes det en unik y slik at P(y) = k + 1. Da er y et heltall større eller lik x+1. Men av det vi allerede har vist er [tex]P(y)-P(x) \geq P(x+1)-P(x) \geq 2[/tex]; en motsigelse. Siden P(x) er rart hvis og bare hvis -P(x) er rart har vi at n = 0 eller 1.

Hvis n = 0 ser vi at P(x) er et heltall for alle x eller for ingen x, så P(x) kan ikke være rart. Anta nå at n = 1.

Da er P(x)=b+ax. [tex]P(-\frac{b}{a})=0[/tex], så b=ak for et heltall k. Da er P(x)=a(k+x). Men [tex]P(\frac{1}{a}-k) = 1[/tex], så [tex]\frac{1}{a}[/tex] er et heltall, dvs [tex]a = \frac{1}{m}[/tex] for et heltall m. Det betyr at [tex]P(x) = \frac{k+x}{m}[/tex] der k og m er heltall. Motsatt; anta at P(x) er på denne formen. Hvis P(x) = s for et heltall s, er x = ms - k, som er et heltall. Dermed er P(x) rart.

Det vil si at alle de rare polynomene er på formen [tex]\frac{x+k}{m}[/tex] der k og m er heltall.

Posted: 11/11-2010 00:54
by Karl_Erik
Dette er helt riktig, med et lite unntak - Hvis P(x) ikke er et heltall for noen x er det fortsatt rart, da utsagnet da blir en 'tom sannhet'. Dette er dog selvfølgelig det trivielle tilfellet.

Posted: 11/11-2010 00:56
by Charlatan
Karl_Erik wrote:Dette er helt riktig, med et lite unntak - Hvis P(x) ikke er et heltall for noen x er det fortsatt rart, da utsagnet da blir en 'tom sannhet'. Dette er dog selvfølgelig det trivielle tilfellet.
Selvsagt, det har du rett i. Det blir altså i tillegg alle polynomene P(x) = r hvor r ikke er et heltall. Hvor er denne oppgaven fra?

Posted: 11/11-2010 01:20
by Karl_Erik
Jeg tok den fra http://www.bmoc.maths.org/home/fst1-2010.pdf . Veldig mulig at de har tatt den fra en eller annen eldre shortlist eller noe.