matematikk.net

La I være innsenteret til trekant ABC, og la innsirkelen tangere sidene BC, AC, AB i henholdsvis D, E og F. La linje CI møte EF i T. Vis at T, I, D, B, F er konsykliske.

I og med at E,D og F danner rette vinkler med I på AC, BC og BA, ser vi at BDIF, CDIE og AEIF er konsykliske firkanter. Inverter nå med hensyn på innsirkelen om I (X -> X'). Siden IE=ID=IF er I' omsenteret i trekanten E'F'D', og av de konsykliske firkantene ligger A', B' og C' på sidene F'E', F'D' og E'D' respektivt. IB,IC og IA er diametere i det nevnte konsykliske firkantene, og ettersom vinkler er bevart under inversjon, er I'A', I'C' og I'B' normaler (og dermed midtnormaler).

Vi lar T være skjæringspunktet mellom sirkelen S om BDIF og linja CI (hvor vi kan anta at T er forskjellig fra F; hvis ikke er det ingenting å vise), og vil vise at linja gjennom EF skjærer S i T (omvendt fra oppgaven, men det er ekvivalent). Vi har at T' er skjæringspunktet mellom C'I' og D'F' (siden D',B',T' og F' er kolineære og linja CI er invariant under inversjon). Det gjenstår å vise at T ligger på linja EF, dvs at firkanten I'T'F'E' er konsyklisk.

Siden I er omsenteret er I'D'F' = I'F'D', I'F'E' = I'E'F' og I'E'D' = I'D'E'. Videre er T'D'E' en likebeint trekant med toppunkt i T' (siden T'C' er midtnormal), så I'T'E' = I'T'D' = 90 - I'D'T' - I'D'E' = 90-(90-I'F'E')=I'F'E' (ved likhetene over og at vinkelsummen i en trekant er 180), og dermed er I'T'F'E' konsyklisk.

Dette ble sannsynligvis litt mer omstendelig enn strengt nødvendig, men den løste seg nå i hvert fall etter at jeg prøvde å invertere. Jeg håper ikke du har et ett-linjes-bevis framfor deg , men vis gjerne uansett!

Løsningen din ser helt riktig ut - inversjon i innsirkelen syntes jeg var pent. Jeg så løsningen før oppgaven, men den er nok en mer direkte 'regneløsning' enn din. La vinklene i trekant ABC være [tex]2\alpha, 2 \beta, 2 \gamma[/tex]. Legg så merke til at [tex]\angle BIT = 180^{\circ} - \angle BIC = \beta + \gamma[/tex]. Vi er altså ferdige om vi kan vise at [tex]\angle BFE = 2\alpha + \beta + \gamma[/tex]. Av teoremet om vinkler mellom sirkler og tangenter er [tex]\angle BFE = 180 ^{\circ} - \angle AFE = 180 ^{\circ} - \angle FDE[/tex], så vi vil vise [tex]\angle FDE = \beta + \gamma[/tex]. Men dette følger ved å skrive [tex]\angle FDE = \angle FDI + \angle IDE[/tex] og bruke de sykliske firkantene FBDI og DCEI, så vi er ferdige.

Oppfølger: Vis at T ligger på linja som mellom midtpunktene til AB og BC.