matematikk.net

For hvilke [tex]k[/tex] finnes distinkte primtall [tex]p_1, \ldots, p_k[/tex] slik at [tex]\sum _{i=1} ^k p_i ^2 = 2010[/tex]?

Summen av kvadratene av de 10 første primtallene er 2397. Altså må [tex]k \leq 9[/tex]. Anta at [tex]q_1 < q_2 < ... < q_k[/tex]er [tex]k[/tex] primtall og la [tex]r[/tex] være resten når [tex]\sum_{i=1}^k q_i^2[/tex] deles på 24. Da vil [tex]q_i^2 \equiv 1 \, \pmod{24}[/tex] for alle [tex]i \geq 3[/tex].

Vi har følgende tre muligheter:

[tex](1) \, q_1 = 5 \;\; \Rightarrow \;\; r = k \cdot 1 = k \leq 9. \\ (2) \, q_2 = 5 \;\; \Rightarrow \;\; r \leq 3^2 + (k-1) \cdot 1 = k + 8 \leq 9 + 8 = 17. \\(3) q_3 = 5 \;\; \Rightarrow \;\; r = 2^2 + 3^2 + (k-2) \cdot 1 = k + 11.[/tex]

Hvis [tex]\sum_{i=1}^k q_i^2 = 2010[/tex], blir [tex]r = 18[/tex] som igjen gir [tex]q_3 = 5[/tex] og [tex]k + 11 = 18[/tex], dvs. [tex]k = 7[/tex].

Det faktum at

[tex]2^2 + 3^2 + 5^2+ 7^2 + 11^2 + 29^2 + 31^2 = 2010[/tex]

gjør at vi kan konkludere med følgende:

Det eksisterer [tex]k[/tex] distinkte primtall [tex]p_1, p_2, \ldots ,p_k[/tex] slik at [tex]\sum_{i=1}^k p_i^2 = 2010[/tex] hvis og bare [tex]k = 7[/tex].

Antar du mener [tex]q_1 \geq 5[/tex] og tilsvarende i de tre mulighetene, men dette ser finfint ut.