matematikk.net

Jeg skal vise at:

g''(x) = [tex]\frac{3}{2} (g(x))^2[/tex]


der g'(y) = [tex]\sqrt{x^3+1}[/tex]
Så spørsmålet blir hvordan man finner et uttrykk for g''(x) (og ikke g''(y)).



Dersom resten av oppgaveteksten er nødvendig for å løse oppgaven, så:

g er den inverse funksjonen av f (f:[tex][0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}[/tex]), der:
[tex]f(x) = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^3}}dt[/tex]

Ostbågar wrote: g er den inverse funksjonen av f (f:[tex][0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}[/tex]), der:
[tex]f(x) = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^3}}dt[/tex]

La integranden være [tex]h(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^3}}[/tex].

Sett x=g(y)

Da er

[tex]y=f(g(y))=\int_0^{g(y)}h(t)\,dt[/tex]

[tex]\frac{dy}{dg(y)}=\frac{1}{g^,(y)}=h(g(y))[/tex] så

[tex]g^,(y)=\sqrt{1+(g(y))^3}[/tex]

Videre er

[tex]g^{,,}(y)=\frac{3(g(y))^2g^,(y)}{2\sqrt{1+(g(y))^2}}=\frac{3(g(y))^2}{2}[/tex]

Herfra spiller det ingen rolle om vi bytter ut navnet y med x, og vi er altså i mål.