matematikk.net

Ikke sikker på om denne har vært oppe før.

(2002 IMO)
Find all functions f from the set [tex]\mathbb{R}[/tex] of real numbers to itself such that:

[tex]( f (x) + f (z))( f (y) + f (t))= f ( xy - zt ) + f ( xt + yz )[/tex]

for all x, y, z, t in \mathbb{R}

(1983 IMO)
Determine all functions f [tex]\mathbb{R}^+ {\to} \mathbb{R}^+[/tex] such that

[tex]f ( x \cdot f (y) ) = y \cdot f (x)[/tex] for all [tex]x\,,\, y[/tex] ε [tex]\mathbb{R}^+[/tex]

and as [tex]x \to + \infty , f (x) \to 0[/tex].

Den andre oppgaven: La [tex]a = f(1)[/tex]. Nå er [tex]f(xf(1))=f(x)[/tex], så [tex]f(ax)=f(x)[/tex], som per induksjon gir at [tex]f(a^nx)=f(x)[/tex], og med x=1 har vi [tex]f(a^n)=a[/tex]. Dersom a>1 får vi at [tex]a^n \to \infty[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex] som betyr at [tex]f(a^n) \to 0[/tex], men dette medfører at a = 0 som er umulig. Siden [tex]f(a^nx)=f(x)[/tex] har vi ved [tex]x = \frac{1}{a^n}[/tex] at [tex]f(\frac{1}{a^n})=a[/tex]. Dersom nå a<1 får vi ved tilsvarende argument at a = 0. Dermed er [tex]f(1) = a = 1[/tex]. Det betyr at [tex]f(f(y))=yf(1)=y[/tex].

Anta at [tex]f(t) = t[/tex]. Da er ved induksjon [tex]f(t^n) = t^n[/tex]. Dersom [tex]t >1[/tex] så vil [tex]t^n \to \infty[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex], som betyr at [tex]f(t^n)=t^n \to 0[/tex] som er en motsigelse. Nå er [tex]1=f(1)=f(\frac{1}{t^n}f(t^n))=t^nf(\frac{1}{t^n})[/tex], så [tex]f(\frac{1}{t^n})= \frac{1}{t^n}[/tex]. Hvis [tex]t<1[/tex] har vi på samme måte som over en motsigelse. Dermed er t = 1. Men ettersom [tex]f(xf(x))=xf(x)[/tex] for alle x, så må [tex]f(x) =\frac{1}{x}[/tex] for alle x, og ved innsetting ser vi at dette stemmer.