Page 1 of 1
Ikkearitmetisk, men nesten aritmetisk fölge
Posted: 31/10-2010 23:42
by Karl_Erik
Vis at det finnes en fölge positive heltall som er slik at ingen tre ledd danner en aritmetisk fölge, men enhver aritmetisk fölge har minst ett element til felles med den.
Posted: 06/11-2010 20:17
by Charlatan
Jeg antar her at konstante følger ikke regnes som aritmetiske følger. La [tex](d_{1k}),(d_{2k}),...[/tex] ([tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]) være de aritmetiske følgene (det er tellbart mange) der vi kan anta at [tex](d_{1k})=(k)[/tex], og [tex](d_{2k})=(2k)[/tex]. Vi merker oss at for ethvert tall N inneholder en aritmetisk følge et element [tex]d_{nk} >N[/tex].
La [tex]a_1=1[/tex] og [tex]a_2 = 2[/tex] (i hvilket tilfelle [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] ligger i de aritmetiske følgene [tex](d_{1k})[/tex] og [tex](d_{2k})[/tex] respektivt. Anta at vi har valgt elementer [tex]a_1,a_2,...,a_{n-1}[/tex] s.a. 3 elementer ikke danner en aritmetisk følge og at [tex]a_i[/tex] har et felles element med [tex](d_{ik})[/tex].
Vi skal nå velge [tex]a_n[/tex]. Kravet til følgen er at [tex]a_n-a_k \not = a_k-a_s[/tex] for alle k,s<n. Vi velger da bare [tex]a_n>\max\{2a_k-a_s|k,s<n\}[/tex] slik at [tex]a_n[/tex] ligger i [tex](d_{nk})[/tex]. I så fall vil følgen vår [tex](a_n)[/tex] tilfredsstille kravene gitt (siden den er stigende og per konstruksjon av [tex]a_n[/tex]).
Posted: 06/11-2010 22:49
by Karl_Erik
Dette ser riktig ut. Pål hadde en eksplisitt løsning på denne - [tex]a_n=n! + n[/tex].