matematikk.net

Jeg sliter litt med forståelsen av dette og skulle gjerne hatt ei oppgave som har blitt løst av en student og ikke en lærer som hopper rett til svaret og forventer alt i mellom sier seg selv... Jeg har gjerne lyst å vite hva man starter med og trinnvis hvordan man tenker for å løse en slik oppgave..

Håper noen tar utfordringen.

[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-4)^n}{\sqrt n } [/tex]

Du kan vel bruke rottesten til dette?

Dvs. du ser på grenseverdien av forholdet mellom to etterfølgende ledd i rekka:

La det generelle leddet være

[tex]c_{n}=\frac{(x-4)^n}{\sqrt{n}}[/tex]

Forholdet mellom [tex]c_{n+1}[/tex] og [tex]c_{n}[/tex], i absoluttverdi, er da:

[tex]|{\frac{c_{n+1}}{c_{n}}}|=|\frac{(x-4)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}|\cdot|\frac{\sqrt{n}}{(x-4)^n}|=|x-4|\cdot\sqrt{\frac{n}{n+1}}[/tex]

og lar vi [tex]n\rightarrow{\infty}[/tex], ser vi at grenseverdien av dette er [tex]|x-4|[/tex]. Testen sier at vi har konvergens dersom dette er mindre enn 1 dvs.[tex] |x-4|<1[/tex]. Dette impliserer:

[tex]-1<x-4<1[/tex] og dermed [tex]3<x<5[/tex]

Dersom grensen av forholdet er større enn 1, divergerer rekka, men dersom den er lik 1, vet vi ikke i utgangspunktet. Dvs. vi må se hva som skjer i endepunktene [tex]x=3[/tex] og [tex]x=5[/tex] for seg.

I det første tilfellet får vi rekka:

[tex]\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}[/tex]

og i det andre tilfellet får vi rekka

[tex]\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}}[/tex]

Hva kan du si om konvergensen til disse?

(Vi ser forresten at konvergensradien er 2)

Du kan vel bruke rottesten til dette?

Mange takk for løsningen! Den sparte meg for å fortsette å jobbe med feilaktig rekke.
En liten terminologibemerkning: Den testen du benytter er det jeg kaller forholdskriteriet.
Når en benytter rotkriteriet ser en på:
[tex]\lim_{n \to \infty} |c_n(x-a)^n|^{\frac{1}{n}}[/tex]

For en potensrekke alt. [tex]\lim_{n \to \infty} |c_n|^{\frac{1}{n}}[/tex]

Ja, selvfølgelig, sa feil..