Hei, jeg har to oppgaver der den andre bygger på den første. Jeg har et forslag til løsning på den første, men får ikke til den andre. Kan noen hjelpe?
1. Funksjonene [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] er definert i et åpent intervall som inneholder punktet [tex]x_0[/tex]. Anta at følgende gjelder:
* [tex]f[/tex] er deriverbar i [tex]x_0[/tex].
* [tex]f(x_0)=0[/tex].
* [tex]g[/tex] er kontinuerlig i [tex]x_0[/tex].
Vis at [tex]fg[/tex] er deriverbar i [tex]x_0[/tex].
Løser oppgave 1 på følgende måte:
f og g definert på (a,b), [tex]x_0\in(a,b)[/tex]
[tex]f(x_0)[/tex]=0, f deriverbar i [tex]x_0[/tex] ([tex]\Rightarrow[/tex] f kont. i [tex]x_0[/tex]), g kont. i [tex]x_0[/tex]
([tex]x_0[/tex],[tex]f(x_0)[/tex]) er nullpkt.
(Dropper LaTex herfra, da jeg ikke vet hvordan jeg implementerer den deriverte og grenseverdier - kanskje noen kan svare meg på det?)
(fg)'(x_0) = f'(x_0)*g(x_0)+f(x_0)*g'(x_0) = g(x_0)*f'(x_0)+0 = g(x_0)*f'(x_0)
Fordi g er kontinuerlig i x_0, eksisterer g(x_0), og fordi f er deriverbar i x_0, eksisterer f'(x_0). Da må også g(x_0)*f'(x_0) = (fg)'(x_0) eksistere, hvilket vil si at fg er deriverbar i x_0.
2. Bruk resultatet over, og avgjør om funksjonen
[tex]h(x)=\left\{ {sin^2(x)*cos(1/x)\mbox{ hvis x\neq0} \atop 0\text{ hvis x=0}} \right[/tex]
er deriverbar for x = 0.
Her antok jeg at man kan prøve å sette x_0 = 0, f(x) = sin^2(x), g(x) = cos(1/x) og se om
f er deriverbar i x_0,
f(x_0) = 0 og
g er kontinuerlig i x_0.
De to første påstandene stemmer, mens cos(1/x) ikke er kontinuerlig i 0. Hvordan kan man bruke dette til å vise at x ikke er deriverbar for x = 0 (som jeg antar)? (Kan man bruke resonnementet i slutten av oppg. 1 motsatt vei? At A impliserer B betyr jo ikke at B impliserer A.)
Avgjøre om en funksjon er deriverbar i x = 0
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Argumentasjonen din i 1) er ikke riktig. At en funksjon er kontinuerlig i et punkt, impliserer ikke eksistens av noe som helst. Funksjonen [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] definert som [tex]f(x)=0[/tex] om x er irrasjonal og [tex]f(x)=1[/tex] om x er rasjonal er ikke kontinuerlig i noe punkt, men den er likefullt definert overalt.
Å vise at en funksjon [tex]h[/tex] er deriverbar i et punkt [tex]x_0[/tex], er det samme som å vise at grenseverdien [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}[/tex] eksisterer. I dette tilfellet skal du evaluere grensen
[tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)}{x-x_0}[/tex]
Nå kan du bruke at [tex]f[/tex] er deriverbar i [tex]x_0[/tex] og at [tex]g[/tex] er kontinuerlig i [tex]x_0[/tex]. Husk hva dette betyr! At g er kontinuerlig i det punktet, betyr at [tex]\lim_{x \to x_0} g(x)=g(x_0)[/tex].
Ser du hvordan du gjør resten av beviset nå?
Å vise at en funksjon [tex]h[/tex] er deriverbar i et punkt [tex]x_0[/tex], er det samme som å vise at grenseverdien [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}[/tex] eksisterer. I dette tilfellet skal du evaluere grensen
[tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)}{x-x_0}[/tex]
Nå kan du bruke at [tex]f[/tex] er deriverbar i [tex]x_0[/tex] og at [tex]g[/tex] er kontinuerlig i [tex]x_0[/tex]. Husk hva dette betyr! At g er kontinuerlig i det punktet, betyr at [tex]\lim_{x \to x_0} g(x)=g(x_0)[/tex].
Ser du hvordan du gjør resten av beviset nå?
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Eksempelet ditt er vel et eksempel på at eksistens av et punkt ikke medfører kontinuitet i punktet (og ikke det omvendte, som jeg baserte meg på i oppg. 1). (Men du kan naturligvis ha rett likevel.) Jeg forsøker å løse oppg. 1 på en annen måte, men står likevel fast:
Setter [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x-x_0} \cdot g(x_0)[/tex]
At [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex] eksisterer, er i dette tilfellet det samme som å si at [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x-x_0}[/tex] eksisterer.
For at også [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x-x_0}\cdot g(x_0)[/tex] skal eksistere, må imidlertid kontinuitet i punktet g(x_0) implisere eksistens av punktet. Dette avviser du, og dermed kommer jeg ikke videre.
For øvrig vet jeg heller ikke hvordan jeg skal løse oppgave 2.
Setter [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x-x_0} \cdot g(x_0)[/tex]
At [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex] eksisterer, er i dette tilfellet det samme som å si at [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x-x_0}[/tex] eksisterer.
For at også [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x-x_0}\cdot g(x_0)[/tex] skal eksistere, må imidlertid kontinuitet i punktet g(x_0) implisere eksistens av punktet. Dette avviser du, og dermed kommer jeg ikke videre.
For øvrig vet jeg heller ikke hvordan jeg skal løse oppgave 2.
Siden [tex]g[/tex] er veldefinert på intervallet [tex](a,b)[/tex] og [tex]x_0\in (a,b)[/tex] er det opplagt at [tex]g(x_0)[/tex] eksistere. Jeg tviler på at Fredrik benkter dette;)193 wrote:
For at også [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x-x_0}\cdot g(x_0)[/tex] skal eksistere, må imidlertid kontinuitet i punktet g(x_0) implisere eksistens av punktet. Dette avviser du, og dermed kommer jeg ikke videre.
Poenget med denne oppgaven er vel at man skal bruke følgende sats:
[tex]\lim_{x\to a}g(x)h(x)=\lim_{x\to a}g(x)\lim_{x\to a}h(x)[/tex] dersom grensene på høyresida eksisterer.
Så det du må argumentere for er at disse grensene fins og hva de i så fall må være.
- Pga. at f er deriverbar i punkt [tex]x_0[/tex] fins grensen [tex]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{x-x_0}[/tex]
- Pga. at g er kontinuerlig i punkt [tex]x_0[/tex] er [tex]\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)[/tex]
Jeg antar da at argumentasjonen i 1) mitt første innlegg holder likevel, men at jeg også kan vise at [tex]fg[/tex] er deriverbar i [tex]x_0[/tex] ved å benytte definisjonen av deriverbarhet og se at [tex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x-x_0} g(x_0)[/tex] eksisterer fordi begge faktorene eksisterer (den første fordi eksistens av denne er forutsetningen for at f er deriverbar i [tex]x_0[/tex] og den andre fordi g er kontinuerlig i [tex]x_0[/tex]).
Imidlertid sliter jeg fortsatt med oppgave 2, som jeg for oversiktens skyld kan gjenta her:
2.
Bruk resultatet over , og avgjør om funksjonen
[tex]h(x)=\left\{ {sin^2(x) cos(1/x)\mbox{ hvis x\neq0} \atop 0\text{ hvis x=0}} \right[/tex]
er deriverbar for [tex]x = 0[/tex].
Jeg tror jeg vet hvordan man kan vise at funksjonen ikke er deriverbar for x = 0, men ikke ved hjelp av resultatet i (1.).
Skal man gjøre dette, er det nærliggende å tenke at man må sette [tex]f(x)=sin^2(x)[/tex] ettersom [tex]f(0)[/tex] skal være 0. Da kan man ikke bruke [tex]f(x)=cos(1/x)[/tex]. Fra (1.) skal [tex]g[/tex] være kontinuerlig i [tex]x_0[/tex], noe [tex]f(x)=cos(1/x)[/tex] ikke er. Da kan man iallfall ikke vise at h(x) er deriverbar i x = 0 ved hjelp av resultatet i (1.), men jeg kan ikke se at man vise at h(x) ikke er deriverbar i x = 0 heller, da resultatet i (1.) kun sier at forutsetningene gitt i (1.) impliserer deriverbarhet av [tex]fg[/tex] i [tex]x_0[/tex], og ikke at dersom forutsetningene ikke er oppfylt, er [tex]fg[/tex] ikke deriverbar i [tex]x_0[/tex].
Derimot synes det for meg temmelig logisk at g må være kontinuerlig i [tex]x_0[/tex] for at fg skal være deriverbar i [tex]x_0[/tex], men det er altså ikke dette man skal bruke (eller evt. bevise) i oppgaven.
Den eneste måten jeg klarer å vise at funksjonen ikke er deriverbar for x = 0 på, er å bruke definisjonen av deriverbarhet og vise at en grenseverdi som må eksistere, ikke eksisterer:
At h(x) er deriverbar for x = 0, betyr at [tex]\lim_{x \to 0} \frac{h(x)-h(0)}{x-0}[/tex] eksisterer. Denne grensen er lik
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x) cos(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} sin(x) \cdot \lim_{x \to 0} cos(1/x) = 1 \cdot 0 \cdot \lim_{x \to 0} cos(1/x) = 0 \cdot \lim_{x \to 0} cos(1/x)[/tex]
Denne siste grenseverdien eksisterer ikke, og derfor er heller ikke h(x) deriverbar for x = 0.
Er det noen som i stedet kan løse oppgave 2 ved hjelp av resultatet i oppgave 1?
Imidlertid sliter jeg fortsatt med oppgave 2, som jeg for oversiktens skyld kan gjenta her:
2.
Bruk resultatet over , og avgjør om funksjonen
[tex]h(x)=\left\{ {sin^2(x) cos(1/x)\mbox{ hvis x\neq0} \atop 0\text{ hvis x=0}} \right[/tex]
er deriverbar for [tex]x = 0[/tex].
Jeg tror jeg vet hvordan man kan vise at funksjonen ikke er deriverbar for x = 0, men ikke ved hjelp av resultatet i (1.).
Skal man gjøre dette, er det nærliggende å tenke at man må sette [tex]f(x)=sin^2(x)[/tex] ettersom [tex]f(0)[/tex] skal være 0. Da kan man ikke bruke [tex]f(x)=cos(1/x)[/tex]. Fra (1.) skal [tex]g[/tex] være kontinuerlig i [tex]x_0[/tex], noe [tex]f(x)=cos(1/x)[/tex] ikke er. Da kan man iallfall ikke vise at h(x) er deriverbar i x = 0 ved hjelp av resultatet i (1.), men jeg kan ikke se at man vise at h(x) ikke er deriverbar i x = 0 heller, da resultatet i (1.) kun sier at forutsetningene gitt i (1.) impliserer deriverbarhet av [tex]fg[/tex] i [tex]x_0[/tex], og ikke at dersom forutsetningene ikke er oppfylt, er [tex]fg[/tex] ikke deriverbar i [tex]x_0[/tex].
Derimot synes det for meg temmelig logisk at g må være kontinuerlig i [tex]x_0[/tex] for at fg skal være deriverbar i [tex]x_0[/tex], men det er altså ikke dette man skal bruke (eller evt. bevise) i oppgaven.
Den eneste måten jeg klarer å vise at funksjonen ikke er deriverbar for x = 0 på, er å bruke definisjonen av deriverbarhet og vise at en grenseverdi som må eksistere, ikke eksisterer:
At h(x) er deriverbar for x = 0, betyr at [tex]\lim_{x \to 0} \frac{h(x)-h(0)}{x-0}[/tex] eksisterer. Denne grensen er lik
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x) cos(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} sin(x) \cdot \lim_{x \to 0} cos(1/x) = 1 \cdot 0 \cdot \lim_{x \to 0} cos(1/x) = 0 \cdot \lim_{x \to 0} cos(1/x)[/tex]
Denne siste grenseverdien eksisterer ikke, og derfor er heller ikke h(x) deriverbar for x = 0.
Er det noen som i stedet kan løse oppgave 2 ved hjelp av resultatet i oppgave 1?
Takk for tipset.
Da setter jeg [tex]g(x) = \left\{ {sin(x) cos(1/x)\mbox{ hvis x\neq0} \atop 0\text{ hvis x=0}} \right[/tex].
At denne funksjonen er kontinuerlig, har jeg vist i en tidligere oppgave (ikke utlagt her).
Setter [tex]f(x)=sin(x) \Rightarrow f(0)=0[/tex], f deriverbar i 0
[tex]f(x) \cdot g(x)= \left\{ {sin^2(x) cos(1/x)\mbox{ hvis x\neq0} \atop 0\text{ hvis x=0}} \right[/tex] er altså deriverbar i x = 0 gitt resultatet i (1.).
Dette får jeg dog ikke til å stemme overens med mitt forsøk i mitt forrige innlegg på å vise at h(x) ikke er deriverbar i x = 0. Hva er feil der?
Da setter jeg [tex]g(x) = \left\{ {sin(x) cos(1/x)\mbox{ hvis x\neq0} \atop 0\text{ hvis x=0}} \right[/tex].
At denne funksjonen er kontinuerlig, har jeg vist i en tidligere oppgave (ikke utlagt her).
Setter [tex]f(x)=sin(x) \Rightarrow f(0)=0[/tex], f deriverbar i 0
[tex]f(x) \cdot g(x)= \left\{ {sin^2(x) cos(1/x)\mbox{ hvis x\neq0} \atop 0\text{ hvis x=0}} \right[/tex] er altså deriverbar i x = 0 gitt resultatet i (1.).
Dette får jeg dog ikke til å stemme overens med mitt forsøk i mitt forrige innlegg på å vise at h(x) ikke er deriverbar i x = 0. Hva er feil der?
Jeg ser hva som er feil: lim(0*cos(1/x)), x->0 er ulik 0*lim(cos(1/x)), da denne ikke eksisterer (med mindre man tenker 0 * (vilkårlig tall i intervallet [-1,1]), men dette er kanskje ikke formelt riktig... WolframAlpha gir her svaret "0 to 0")), men derimot lik 0, hvilket kan vises med skviseteoremet.