matematikk.net

La [tex]p(x)[/tex] være et polynom av grad [tex]n[/tex], og la [tex]q(x)=p(x)+p^{\prime}(x) + \ldots + p^{(n)}(x)[/tex], der [tex]p^{(i)}(x)[/tex] er den i-te deriverte av [tex]p(x)[/tex]. Anta videre at [tex]p(x) \geq 0[/tex] for alle [tex]x[/tex]. Vis at [tex]q(x) \geq 0[/tex] for alle [tex]x[/tex].

p må nødvendigvis være av partallig grad, så q er også det. Anta at q(c) < 0 for en c. La [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] henholdsvis være det største og minste nullpunktet slik at [tex]c_1 < c < c_2[/tex] (og disse eksisterer siden q har partallige grad). Da er q(x) negativ på [tex](c_1,c_2)[/tex], så [tex]\int^{c_2}_{c_1} q(x) dx < 0[/tex]. Men

[tex]\int^{c_2}_{c_1} q(x) dx = \int^{c_2}_{c_1} p(x)+...+p^{(n)}(x) dx =\int^{c_2}_{c_1} p(x) dx + [p(x)+...p^{(n-1)}(x)]^{c_2}_{c_1} \\ \geq [p(x)+...p^{(n-1)}(x)]^{c_2}_{c_1} = [q(x)-p^{(n)}(x)]^{c_2}_{c_1}=q(c_2)-q(c_1)+p^{(n)}(c_2)-p^{(n)}(c_1) = 0[/tex]
siden [tex]p^{(n)}(x)[/tex] er et konstant polynom. Men dette er en motsigelse, så [tex]q(x) \geq 0[/tex] for alle x.

Dette ser bra ut. Alternativt kan man først, som du sier, legge merke til at p må ha partallig grad, og derfor q også. Tilsvarende må p og q begge ha positiv koeffisient foran leddet av høyest grad, og da har q et globalt minimumspunkt c. Det holder da å vise at [tex]q(c) \geq 0[/tex], men siden [tex]q(x)=p(x)+q^{\prime}(x)[/tex] er [tex]q(c)=p(c)+q^{\prime}(c) \geq q^{\prime}(c) = 0[/tex].