matematikk.net

Syns det er vrient å bruke induksjon på differenslikninger.

Noen som vil hjelpe meg litt med denne her, så jeg får opp øynene litt?
Oppgaven lyder:
a_(n+1) = ((a_n)^2 + 2 )/(2a_n), og a_1 = 2.
vis at a_n > 0 for alle n.
Takk!

Vis at

[tex]\frac{a_k^2 + 2 }{2a_k}>0[/tex] dersom [tex] a_{k}>0[/tex]

Jeg prøver meg, med fare for svada:


Jeg skal vise at a_n>=0 for alle n når a_n+1 = ((a_n)^2 + 2) / 2a_n, og a_1 = 2.
Det er opplagt at dette er sant for 1; 2>1.
Antar at det gjelder for k:
a_k >= 0 (I)

P k+1: a_(k+1) = ((a_k)^2 + 2) / 2a_k >= 0.

Siden jeg har at a_k>=0 fra (I), må a_(k+1) >= 0 siden ((a_k)^2 +2 ) / 2a_k er større enn 0 så lenge a_k er større enn null, og går mot uendelig når a_k går mot null.



Er dette helt i tåka?
Takk for svar

Det er helt riktig. For å være småpedantisk bør jeg kommentere at det er vesentlig at induksjonshypotesen er [tex]a_n > 0[/tex], og ikke [tex]a_n \geq 0[/tex]. Grunnen er at [tex]a_n = 0[/tex] på et tidspunkt er ikke følgen veldefinert.

Flott, takk

Såklart, /0 skjelden lurt.

Prøver meg på en til, skal vise for samme følge at

(a_n)^2 - 2 >= 0 for alle n.

Finner først at om a_n har en grenseverdi, så er den den samme for a_n+1 og a_n siden n går mot uendelig.

Setter grenseverdien til a, og får a= (a^2 +2) /2a => a= sqrt(2) (positiv siden a_1=2).

For å vise at grenseverdien eksisterer, prøvre jeg meg på induksjon:

Jeg ønsker å vise at a_n>=a_n+1>=sqrt(2).
Dette er jo sant for 1; 2>= 3/2 >= sqrt (2).

Jeg antar at det gjelder for k:

a_k>=a_k+1>=sqrt(2) (I), og undersøker om det medfører at det gjelder for k+1:

a_k+1>=a_k+2>=sqrt(2)

Setter inn for a_k+1 fra (I) i
a_k+2=((a_k+1)^2+2)/(2a_k+1) >= sqrt(2) , og ser at
a_k+2= (sqrt(2)^2 +2)/2sqrt(2) = sqrt(2) >=sqrt(2). Altså er a_k+1 >= a_k+2 >= sqrt(2).

Derfor er (a_n)^2-2=>0 for alle n.

Dette burde og kunne kanskje vert gjort penere?