matematikk.net

La H være et underrom av et vektorrom V, og la T(H) være avbildningen av H når T: V -> W. Jeg skal bevise at [tex]dim T(H) \leq dim H[/tex].

Gikk frem som følger:

La [tex]B = \left{v_1,...,v_k\right}[/tex] være en basis for H, sa [tex]SpanB = H[/tex]. Da vet jeg at enhver vektor x i H kan skrives som en linærkombinasjon av vektorene i B, dvs

[tex] x = c_1 v_1 + ... + c_k v_k[/tex].

men da x er en vilkåelig vektor i H, så er jo

[tex]T(x) = c_1 T(v_1) + ... + c_k T(v_k)[/tex]

og T(x) er en vilkåelig vektor i T(H)
som betyr at en hver vektor i T(H) kan skrives som en linærkombinasjon av vektorene i mengden [tex]C =\left{T(v_1), ... , T(v_k)\right}[/tex], så T(H) = Span C. Videre danner jo B en basis for H så vektorene i B må jo være linært uavhengig. Da følger det jo at siden

[tex] c_1v_1 + ... + c_k v_k = 0 \Leftrightarrow c_1 = ... = c_k = 0[/tex]
[tex]\Rightarrow c_1 T(v_1) + ... + c_k T(v_k) = 0 \Leftrightarrow c_1 = ... = c_k = 0[/tex]

Som betyr at vektorene i C også er linært uavhening. Dermed danner disse en basis for T(H) og dim T(H) er også k.
Men av dette følger det jo t hvis H har k basisvektorer så er dim H = k = dim T(H).

Jeg skulle jo bare vise at dim T(H) <= dim H.. Er det noen huller her?

La [tex]h_1,\ldots,h_n[/tex] være en basis for H. Da er billedrommet [tex]T(H)[/tex] utspent av [tex]T(h_1),\ldots,T(h_n)[/tex]. Men denne trenger ikke være en basis. For om T ikke er injektiv har vi at [tex]T(\sum c_i v_i)=T(\sum k_i v_i)[/tex] for noen konstanter [tex]c_i,k_i[/tex]. Dette impliserer at [tex]\sum T(v_i)(c_i-k_i)=0[/tex], så [tex]T(v_i)[/tex] er lineært avhengige. Så [tex]\dim T(H) \leq \dim H[/tex]

Ah! Der var det ja Bildet er jo surjektivt per definisjon, men det trenger ikke være injektivt. Takk Fredrik:)