matematikk.net

Anta at [tex]f[/tex] på de ikke-negative reelle tallene være definert på de ikke-negativene tallene er slik at [tex]f(2) = 0[/tex], [tex]f(x) \not = 0[/tex] på [tex][0,2)[/tex] og [tex]f(xf(y))f(y)=f(x+y)[/tex].

Finn alle mulige [tex]f[/tex].

Sett [tex]y=2[/tex]. Da blir [tex]f(xf(2))f(2)=f(x+2)=0 [/tex] for alle ikkenegative x, så [tex] f(x)=0[/tex] når [tex]x\geq 2[/tex]

La r være i [0,2) og sett [tex]y=r[/tex]. Da er [tex]f(xf(r))f(r)=f(x+r)[/tex]. Dersom det fins en verdi av x som tilfredsstiller enten begge ulikhetene [tex]xf(r)\geq 2[/tex] og [tex]x+r< 2[/tex] eller motsatt ([tex]xf(r)< 2[/tex] og [tex]x+r\geq 2[/tex]), vil ikke funksjonalligningen være oppfylt siden den ene sida vil være 0 mens den andre vil være ulik 0. Dersom jeg ikke har oversett noe må derfor [tex]f(x)=\frac{2}{2-x}[/tex] for x i [0,2) og [tex]f(x)=0[/tex] for [tex]x\geq 2[/tex].

Det er kanskje jeg som overser noe, men hvordan følger det at [tex]f(x) = \frac{2}{2-x}[/tex] fra de to ulikhetene?

La r være i [0,2).

Dersom det fins en x slik at

[tex]2-r\leq x<\frac{2}{f(r)}[/tex]

eller at

[tex]2-r> x\geq \frac{2}{f(r)}[/tex],

vil funksjonalligningen ikke kunne stemme siden vi da får at noe ulik 0 er lik 0. Setter vi derimot [tex]2-r=\frac{2}{f(r)}[/tex] vil ingen slik x eksistere.

Hvorvidt [tex]f(x)=\frac{2}{2-x}[/tex] på [0,2) og f(x)=0 på [tex]x\geq 2[/tex] er en mulig løsning kan man vel se ved å sette inn i ligningen.

Er dette feil løsning?

Det stemmer ja. Det er forøvrig en del case-work med å sjekke at løsningen faktisk stemmer, men helt trivielt.

Charlatan wrote: Det er forøvrig en del case-work med å sjekke at løsningen faktisk stemmer, men helt trivielt.

Ja, jeg burde vel skrevet det ned for å komplettere det hele.. Kan gjøre det litt senere i kveld..

Har du andre måter å løse funksjonalligningen på?

Den har vært oppe før, og ideen for å løse den var essensielt den samme (f(x)!=2/(2-x) gir motsigelse): http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=13988

Kan det stemme at oppgava er fra IMO?

mrcreosote wrote: Kan det stemme at oppgava er fra IMO?

Ja, i 1986 om jeg ikke husker feil.

plutarco wrote: Har du andre måter å løse funksjonalligningen på?

Jeg løste den på omtrent samme måte, satte først y = 2 for å få ulikheten den ene veien (antar jeg kunne ha fått den andre veien og etter det du viste), og x = 2/f(y) for å få ulikheten den andre veien.