Page 1 of 1

Ulikhet i tre variable

Posted: 18/07-2010 21:50
by Karl_Erik
[tex]a,b,c[/tex] er ikkenegative reelle tall. Vis at [tex]\frac 1 {(a-b)^2} + \frac 1 {(b-c)^2} + \frac 1 {(c-a)^2} \geq \frac 4 {ab+bc+ac}[/tex].

Posted: 30/07-2010 02:04
by Charlatan
Vi viser først (1): Anta at a>b>0.

[tex]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{4}{ab} \\ \Leftrightarrow a^2b^2+(a-b)^2(b^2+a^2) \geq 4ab(a-b)^2 \\\Leftrightarrow a^2b^2+(a-b)^4 \geq 2ab(a-b)^2 [/tex]

som følger av AM-GM.

For ulikheten vi skal vise kan vi av symmetrien anta uten tap av generalitet at (2) a>b>c.

Ved å bruke (2) og (1) har vi at

[tex]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(a-c)^2} \geq \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} \geq \frac{4}{ab} \geq \frac{4}{ab+bc+ac}[/tex]

Gitt a>b>c har vi likhet hvis og bare hvis c = 0 og [tex]a^2b^2=(a-b)^4 \Leftrightarrow a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}b[/tex]